Bài tập 7 trang 45 SGK Hình học 12 NC

a)

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC. SH là đường cao của hình chóp đều S.ABC nên SH là trục của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng (SAH) gọi O là giao điểm của đường trung trực SA với SH thì O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu là R = SO 

Gọi I là trung điểm của SA thì tứ giác AHOI nội tiếp nên:

\(SO.SH = SI.SA \Rightarrow SO = \frac{{S{A^2}}}{{2SH}} = \frac{{S{A^2}}}{{2h}}\)

Mà 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
S{A^2} = S{H^2} + A{H^2}\\
 = {h^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + 3{h^2}}}{3}
\end{array}\\
{ \Rightarrow R = SO = \frac{{{a^2} + 3{h^2}}}{{6h}}}
\end{array}\)

Vậy thể tích cần tìm:

\(V = \frac{{\pi {{({a^2} + 3{h^2})}^3}}}{{162{h^3}}}\)

b)

Gọi SH là đường cao của hình chóp đều S.ABCD thì H là tâm của hình vuông ABCD và SH đi qua tâm H′ của hình vuông A′B′C′D′

Mọi điểm nằm trên SH đều cách đều bốn điểm A′, B′, C′, D′. Trên đường thẳng SH, ta xác định điểm O sao cho OA = OA′ thì O cách đều tám điểm A, B, C, D, A′, B′, C′, D′ tức là tám điểm đó nằm trên mặt cầu tâm O, bán kính R = OA. Điểm O là giao điểm của đường thẳng SH và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AA′.

Ta có: \(2{a^2} = A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}\) nên tam giác vuông cân tại S suy ra \(\widehat {ASO} = {45^0}\) do đó tam giác SIO vuông cân tại I và \(IS = IO = \frac{{3a}}{4}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Rightarrow R = OA = \sqrt {O{I^2} + I{A^2}} \\
 = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{{16}} + \frac{{{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}
\end{array}\\
{ \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {{\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)}^3} = \frac{{5\pi {a^3}\sqrt {10} }}{{24}}}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247