Toán 11 Cánh Diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Lý thuyết10 Trắc nghiệm40 BT SGK 0 FAQ

Học247 mời các em tham khảo tóm tắt bài giảng và hệ thống bài tập bài Các phép biến đổi lượng giác Toán 11 Cánh Diều bên dưới đây. Thông qua bài giảng này các em có thể hệ thống lại kiến thức một cách nhanh chóng và hiệu quả, bên cạnh đó các em có thể nắm được các phương pháp giải bài tập và vận dụng các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức cộng

1.2. Công thức nhân đôi

1.3. Công thức biến đổi tích thành tổng

1.4. Công thức biến đổi tổng thành tích

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập

3.1. Trắc nghiệm

3.2. Bài tập SGK

4. Hỏi đáp Bài 2 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức cộng

Trong trường hợp tổng quát, với các góc lượng giác a, b ta có các công thức sau

\(\begin{array}{l}
\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\\
\sin (a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\\
\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\\
\cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\\
\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\\
\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}
\end{array}\)

1.2. Công thức nhân đôi

Một cách tổng quát, ta có các công thức sau:

\(\)\(\begin{array}{l}
\sin 2a = 2\sin a\cos a\\
\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\\
\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}
\end{array}\)

- Nhận xét:

\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\).

\({\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2};{\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2}\). (Thường gọi là công thức hạ bậc)

1.3. Công thức biến đổi tích thành tổng

Trong trường hợp tổng quát, với các góc lượng giác a, b ta có các công thức sau:

\(\begin{array}{l}
\cos a\cos b = \frac{1}{2}[\cos (a + b) + \cos (a - b)]\\
\sin a\sin b = \frac{{ - 1}}{2}[\cos (a + b) - \cos (a - b)]\\
\sin a\cos b = \frac{1}{2}[\sin (a + b) + \sin (a - b)]
\end{array}\)

1.4. Công thức biến đổi tổng thành tích

Trong trường hợp tổng quát, ta có các công thức sau:

\(\begin{array}{l}
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\cos u - \cos v = - 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\\
\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}
\end{array}\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Rút gọn các biểu thức sau:

a. \(\sin (a + b) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin ( - b)\)

b. \(\cos \left( {\frac{\pi }{4} + a} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} - a} \right) + \frac{1}{2}{\sin ^2}a\)

c. \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - \sin (a - b)\)

Lời giải:

a. Ta có

\(\begin{array}{l}
\sin (a + b) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin ( - b)\\
= \sin a\cos b + \cos a\sin b + \cos a( - \sin b)\\
= \sin a\cos b + \cos a\sin b - \cos a\sin b\\
= \sin a\cos b
\end{array}\)

b. Ta có

\(\begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{\pi }{4} + a} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} - a} \right) + \frac{1}{2}{\sin ^2}a\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\left( {\frac{\pi }{4} + a} \right) - \left( {\frac{\pi }{4} - a} \right)} \right) + \cos \left( {\left( {\frac{\pi }{4} + a} \right) + \left( {\frac{\pi }{4} - a} \right)} \right)} \right] + \frac{1}{2}{\sin ^2}a\\
= \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos \frac{\pi }{2}} \right) + \frac{1}{2}{\sin ^2}a\\
= \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}a + 0} \right) + \frac{1}{2}{\sin ^2}a\\
= \frac{1}{2} - {\sin ^2}a + \frac{1}{2}{\sin ^2}a = \frac{1}{2}(1 - {\sin ^2}a) = \frac{1}{2}{\cos ^2}a
\end{array}\)

c. Ta có

\(\begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - \sin (a - b)\\
= \sin a\cos b - (\sin a\cos b - \cos a\sin b)\\
= \sin a\cos b - \sin a\cos b + \cos a\sin b\\
= \cos a\sin b
\end{array}\)

Ví dụ 2:

Tính giá trị của biểu thức: \(A = \sin {15^o} + \tan {30^o}\cos {15^o}\)

Lời giải

Ta có

\(\begin{array}{l}
A = \sin {15^o} + \tan {30^o}\cos {15^o}\\
= \sin {15^o} + \frac{{\sin {{30}^o}}}{{\cos {{30}^o}}}\cos {15^o}\\
= \frac{1}{{\cos {{30}^o}}}(\sin {15^o}\cos {30^o} + \cos {15^o}\sin {30^o})\\
= \frac{1}{{\cos {{30}^o}}}\sin {45^o} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}
\end{array}\)

3. Luyện tập Bài 2 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Học xong bài này, các em có thể biết được cách biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác bằng những công thức để tính toán như:

‒ Công thức cộng;

‒ Công thức nhân đôi;

‒ Công thức biến đổi tích thành tổng;

‒ Công thức biến đổi tổng thành tích.

3.1. Trắc nghiệm Bài 2 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Để cũng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 1 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức \({{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha =1?\)
- A. \({{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}+{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}\)
- B. \({{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{3}+{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{3}=\frac{1}{3}\)
- C. \({{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{4}+{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{4}=\frac{1}{4}\)
- D. \(5\left( {{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{5}+{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{5} \right)=5\)
Câu 2:
Biết \(\sin \frac{\alpha }{3}=\frac{3}{5}.\) Giá trị của \(P=3{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{3}+5{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{3}\) bằng bao nhiêu ?
- A. \(P=\frac{105}{25}\)
- B. \(P=\frac{107}{25}\)
- C. \(P=\frac{109}{25}\)
- D. \(P=\frac{111}{25}\)
Câu 3:
Biết \(\tan \alpha =-3.\) Giá trị của \(P=\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{6\cos \alpha +7\sin \alpha }\) bằng?
- A. \(P=\frac{4}{3}\)
- B. \(P=\frac{5}{3}\)
- C. \(P=-\frac{4}{3}\)
- D. \(P=-\frac{5}{3}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK Bài 2 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 1 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 11 Cánh Diều

Khởi động trang 16 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 16 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 16 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 17 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 17 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 17 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 18 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 18 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 5 trang 18 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 18 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 6 trang 19 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD