Toán 11 Cánh Diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

- Định nghĩa

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình \({f_1}(x) = {g_1}(x)\) tương đương với phương trình \({f_2}(x) = {g_2}(x)\) thì ta viết \({f_1}(x) = {g_1}(x) \Leftrightarrow {f_2}(x) = {g_2}(x)\).

- Định lí:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương. Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có gái trị khác 0.

- Nhận xét: 

Phương trình \(sin x = \frac{1}{2}\) có các nghiệm là: 

\(\begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in ℤ);\\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2 = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in ℤ)
\end{array}\)

Trong TH tổng quát, ta có thể giải phương trình \(sin x = m\) như sau:

Với \(\left| m \right| > 1\), phương trình \(\sin x = m\) vô nghiệm. Với \(\left| m \right| \le 1\), gọi α là số thực thuộc đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin (\alpha ) = m\). Khi đó, ta có: \(\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \alpha  + k2\pi }\\ {x = \pi  - \alpha  + k2\pi } \end{array}(k \in Z)} \right.\)

- Chú ý: 

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình \(sin x = m\):

• \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in Z)\);
• \(\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi (k \in Z)\);
• \(\sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = k2\pi }\\
  {x = \pi  + k2\pi }
  \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = k\pi (k \in Z).\)

b) Ta có \(f(x) = \sin g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi }\\
{f(x) = \pi  - g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho \(\sin x = \sin ({\alpha ^o})\) như sau:

\(\sin x = \sin ({\alpha ^o}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {\alpha ^o} + k{{360}^o}}\\
{x = {{180}^o} - {\alpha ^o} + k{{360}^o}}
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

- Nhận xét: 

Phương trình \(cosx = m\) có các nghiệm là:

\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi (k \in Z)\) và \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi (k \in Z)\).

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình \(cosx = m\) như sau:

Với \(\left| m \right| > 1\), phương trình \(cosx = m\) vô nghiệm. Với \(\left| m \right| \le 1\), gọi \(\alpha \) là số thực thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho. Khi đó, ta có: \(cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \alpha  + k2\pi }\\ {x =  - \alpha  + k2\pi } \end{array}(k \in Z)} \right.\)

- Chú ý: 

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình \(cosx = m\):

• \(cosx = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in Z)\);
• \(cosx = 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi (k \in Z)\);
• \(cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in Z)\).

b) Ta có \(cos f(x) = \cos g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi }\\
{f(x) =  - g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho \(cosx = \cos ({\alpha ^o})\)  như sau: 

\(cosx = \cos ({\alpha ^o}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {\alpha ^o} + k{{360}^o}}\\
{x =  - {\alpha ^o} + k{{360}^o}}
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

Trong TH tổng quát, ta có thể giải phương trình \(tan x = m\) như sau:

Gọi \(\alpha \) là số thực thuộc khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(tan x = m\). Khi đó \(\forall m \in R\), ta có: \(tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi (k \in Z)\)

- Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho \(tan x = \tan {a^o}\) như sau:

\(tan x = \tan {a^o} \Leftrightarrow x = {a^o} + k{180^o}(k \in Z)\)

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình \(\cot x = m\) như sau:

Gọi \(\alpha \) là số thực thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) sao cho \(\cot \alpha  = m\). Khi đó với mọi \(\forall m \in R\), ta có: \(cot x = m \Leftrightarrow \tan x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi (k \in Z)\)

Có thể sử dụng MTCT để giải phương trình lượng giác cơ bản (sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m)

SHIFT + sin, cos, tan + m = kết quả

- Chú ý: Để giải phương trình cotx = m bằng MTCT, ta đưa về giải phương trình 

Ví dụ

Giải các phương trình lượng giác sau:

a. \(sin x = \sin \frac{\pi }{6}\).

b. \(tanx - 1 = 0\).

c. \(2cosx = 1\).

d. \(\cot x = \tan 2x\).

e. \({\cos ^2}x - 3\cos x + 2 = 0\).

Lời giải

a. Ta có

\(\begin{array}{l}
\sin x = \sin \frac{\pi }{6}\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\
{x = \pi  + \frac{\pi }{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.(k \in Z)
\end{array}\)

b. Ta có

\(\begin{array}{l}
2\cos x = 1\\
 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi (k \in Z)
\end{array}\)

c. Ta có

\(\begin{array}{l}
\tan x = 1\\
 \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\
 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi (k \in Z)
\end{array}\)

d. Ta có

\(\begin{array}{l}
\cot x = \tan 2x\\
 \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\\
 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} - 2x + k\pi \\
 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{3}(k \in Z)
\end{array}\)

e. Ta có

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}x - 3\cos x + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = 1}\\
{\cos x = 2(VN)}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in Z)
\end{array}\)

Học xong bài này, các em có thể:

- Nhận biết công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: bằng cách vận dụng đồ thị hàm số lượng giác tương ứng.

- Tính được nghiệm gần đúng của phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay. Giải phương trình lượng giác ở dạng vận dụng trực tiếp phương trình lượng giác cơ bản.  

- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với phương trình lượng giác (ví dụ: một số bài toán liên quan đến dao động điều hòa trong Vật Lí,...).

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 1 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Gọi S là tập nghiệm của phương trình \(2\cos x-\sqrt{3}=0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. \(\frac{5\pi }{6}\in S.\)                                 
  • B. \(\frac{11\pi }{6}\in S.\)
  • C. \(\frac{13\pi }{6}\notin S.\)    
  • D. \(-\frac{13\pi }{6}\notin S.\)

• Câu 2:

  Hỏi \(x=\frac{7\pi }{3}\) là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

  • A. \(2\sin x-\sqrt{3}=0.\)                                 
  • B. \(2\sin x+\sqrt{3}=0.\)     
  • C. \(2\cos x-\sqrt{3}=0.\)                
  • D. \(2\cos x+\sqrt{3}=0.\)

• Câu 3:

  Hỏi trên đoạn \(\left[ 0;2018\pi  \right]\), phương trình \(\sqrt{3}\cot x-3=0\) có bao nhiêu nghiệm?

  • A. 6339                      
  • B. 6340  
  • C. 2017
  • D. 2018

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 1 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 11 Cánh Diều.

Khởi động trang 32 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 32 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 32 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 33 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 33 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 33 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 34 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 35 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 35 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 5 trang 36 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 6 trang 37 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 37 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 7 trang SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Hoạt động 6 trang 38 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 8 trang 38 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Luyện tập 9 trang 39 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Giải Bài 1 trang 40 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Giải Bài 2 trang 40 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Giải Bài 3 trang 40 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Giải Bài 4 trang 40 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Giải Bài 5 trang 40 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Bài tập 48 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 49 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 50 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 51 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 52 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 53 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 54 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 55 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 56 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 57 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 58 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 59 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 60 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 61 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 62 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD