Toán 11 Cánh Diều Bài 1: Góc lượng giác và giá trị lượng giác của góc lượng giác

Lý thuyết10 Trắc nghiệm44 BT SGK 0 FAQ

Mở đầu chương 1 là bài Góc lượng giác và giá trị lượng giác của góc lượng giác Toán 11 Cánh Diều, một phần rất quan trọng trong toán học. Vì vậy, các em cần nắm vững nội dung của bài học này để có thể dễ dàng tiếp cận kiến thức những bài tiếp theo. Trong bài này, các em sẽ cùng tìm hiểu thế nào là góc lượng giác, giá trị lượng giác của góc lượng giác. Chúc các em học tập thật tốt!

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Góc lượng giác

a. Góc hình học và số đo của chúng

b. Góc lượng giác và số đo của chúng

1.2. Gía trị lượng giác của góc lượng giác

a. Đường tròn lượng giác

b. Gía trị lượng giác của góc lượng giác

c. Gía trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt

d. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập

3.1. Trắc nghiệm

3.2. Bài tập SGK

4. Hỏi đáp Bài 1 Toán 11 Cánh Diều

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Góc lượng giác

a. Góc hình học và số đo của chúng

- Định nghĩa:

Góc (còn gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc là độ. Số đo của một góc không vượt quá 180o.

Một đơn vị đo góc khác là radian (đọc là ra – đi – an). Nếu trên đường tròn, ta lấy một cung tròn có độ dài bằng bán kính thì góc ở tâm chắn cung đó gọi là góc có số đo 1 radian, gọi tắt là góc 1 radian (1 rad).

- Nhận xét: Ta biết góc ở tâm có số đo 180o sẽ chắn cung bằng nửa đường tròn (có độ dài bằng \(\pi R\)) nên số đo góc 180o bằng \(\frac{\pi R}{R}\)rad = \(\pi \)rad.

Do đó, \(1rad={{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{o}}\approx {{57}^{o}}17'45''\) và \({{1}^{o}}=\left( \frac{\pi }{180} \right)rad\approx 0,0175rad\)

- Chú ý: Người ta không viết chữ radian hay rad sau số đo của góc. Chẳng hạn, \(\frac{\pi }{2}rad\) cũng được viết là \(\frac{\pi }{2}\).

b. Góc lượng giác và số đo của chúng

- Khái niệm

Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm O trong mặt phẳng, ta cần chọn một chiều quay gọi là chiều dương. Thông thường, ta chọn chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều cùng chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm.

Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov, kí hiệu là (Ou, Ov).

- Nhận xét: Khi tia Om quay góc \({{\alpha }^{o}}\) thì góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo \({{\alpha }^{o}}\) (hay \(\frac{\pi \alpha }{180}\) rad).

Vì thế, mỗi một góc lượng giác đều có một số đo, đơn vị đo góc lượng giác là độ hoặc radian. Nếu góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo bằng \(\alpha \) thì ta kí hiệu là \(\left( Ou,\text{ }Ov \right)=~\alpha \) hoặc \(\left( Ou,\text{ }Ov \right)=~\alpha \).

Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

- Tính chất

Cho hai góc lượng giác (Ou, Ov), (O’u’, O’v’) có tia đầu trùng nhau \((Ou\equiv O'u')\), tia cuối trùng nhau \((Ou \equiv O’u')\). Khi đó, nếu sử dụng đơn vị đo là độ thì ta có:

\((Ou,Ov)=(O'u',O'v')+{{360}^{o}}k\) với k là số nguyên.

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì công thức trên có thể viết như sau:

\((Ou,Ov)=(O'u',O'v')+k2\pi \) với k là số nguyên.

- Hệ thức Chasles (Sa-lơ):

Với 3 tia tuỳ ý Ou, Ov, Ow, ta có:

\((Ou,Ov)+(Ov,Ow)=(Ou,Ow)+k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)

1.2. Gía trị lượng giác của góc lượng giác

a. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng Oxy lấy điểm A(1;0). Đường tròn O bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

- Chú ý: Các điểm B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0, -1) nằm trên đường tròn lượng giác.

b. Gía trị lượng giác của góc lượng giác

Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc lượng giác \(\alpha \) và kí hiệu \(\cos \alpha ,\cos \alpha =x\).

Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc lượng giác \(\alpha \) và kí hiệu \(\sin \alpha ,\sin \alpha =y\).

Nếu \(\cos \alpha \ne 0\) thì tỉ số \(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\) gọi là tang của góc lượng giác \(\alpha \) và kí hiệu \(\tan \alpha \),

\(\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\).

Nếu \(\sin \alpha \ne 0\) thì tỉ số \(\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) gọi là côtang của góc lượng giác \(\alpha \) và kí hiệu \(\cot \alpha \),

\(\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\).

\({{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha =1\) với mọi \(\alpha \)

\(\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }\) với \(\cos \alpha \ne 0\), \(\sin \alpha \ne 0\)

\(1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\) với \(\cos \alpha \ne 0\)

\(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha \ne 0\)

c. Gía trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Ta có các công thức sau cho:

- Hai góc đối nhau (\(\alpha \) và -\(\alpha \) )

\(\sin (-\alpha )=-\sin (\alpha )\)

\(\cos ( - \alpha ) = \cos (\alpha )\)

\(\tan ( - \alpha ) = - \tan (\alpha )\)

\(\cot ( - \alpha ) = - \cot (\alpha )\)

- Hai góc hơn kém nhau (\(\alpha \) và \(\alpha +\pi \))

\(\sin (\alpha +\pi )=-\sin (\alpha )\)

\(\cos (\alpha + \pi ) = - \sin (\alpha )\)

\(\tan (\alpha + \pi ) = \tan (\alpha )\)

\(\cot (\alpha + \pi ) = \cot (\alpha )\)

- Hai góc bù nhau (\(\alpha \) và \(\pi -\alpha \))

\(\sin (\pi -\alpha )=\sin (\alpha )\)

\(\cos (\pi -\alpha )=-\cos (\alpha )\)

\(\tan (\pi -\alpha )=-\tan (\alpha )\)

\(\cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha \)

- Hai góc phụ nhau (\(\alpha \) và \(\frac{\pi }{2}-\alpha \))

\(\sin \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha \)

\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)

\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \)

\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha \)

d. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác

- Nếu đơn vị của góc lượng giác là độ, trước hết, ta chuyển máy sang chế độ “độ”.

- Nếu đơn vị của góc lượng giác là radian (rad), trước hết, ta chuyển máy sang chế độ “radian”.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 5 giây.

Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 2 giây?

Lời giải:

Quay 2 vòng trong 5 giây, tức là quay góc: \(2.2\pi =4\pi (rad)\) trong 5 giây.

Vậy trong 2 giây bánh xe quay được góc: \(\frac{2.4\pi }{5}=\frac{8\pi }{5}(rad)\). Tương ứng với góc \({{288}^{o}}\).

Ví dụ 2:

Cho \(\cos x = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\left( { - \frac{\pi }{2} < x < 0} \right)\). Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại?

Lời giải:

Vì \( - \frac{\pi }{2} < x < 0 \Rightarrow \sin x < 0\)

Ta có

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\
\Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = \frac{1}{5}
\end{array}\)

Vậy

\(\begin{array}{l}
\sin x = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\\
\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}} = \frac{{ - 1}}{2}\\
\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}}} = - 2
\end{array}\)

Ví dụ 3:

Rút gọn biểu thức: \(A = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} - \alpha } \right) + \cos (13\pi + \alpha ) - 3\sin (\alpha - 5\pi )\)

Lời giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}
A = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} - \alpha } \right) + \cos (13\pi + \alpha ) - 3\sin (\alpha - 5\pi )\\
= \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos (\pi + \alpha ) + 3\sin (\pi - \alpha )\\
= \cos \alpha - \cos \alpha + 3\sin \alpha = 3\sin \alpha
\end{array}\)

3. Luyện tập Bài 1 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Học xong bài này, em có thể:

- Nhận biết được các khái niệm cơ bản về góc lượng giác.

- Nhận biết khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác.

- Mô tả bảng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp; hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác; quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau π.

3.1 Trắc nghiệm Bài 1 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Để cũng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 1 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Giá trị \(\tan {30^0} + \cot {30^0}\) bằng bao nhiêu?
- A. \(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\)
- B. \(\frac{{1 + \sqrt 3 }}{3}\)
- C. \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
- D. 2
Câu 2:
Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng?
- A. \(\sin {150^{\rm{O}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
- B. \(\cos {150^{\rm{O}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
- C. \(\tan {150^{\rm{O}}} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
- D. \(\cot {150^{\rm{O}}} = \sqrt 3 \)
Câu 3:
Tính giá trị biểu thức \(P = \cos {30^ \circ }\cos {60^ \circ } - \sin {30^ \circ }\sin {60^ \circ }\)?
- A. \(P = \sqrt 3\)
- B. \(P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
- C. \(P = 1\)
- D. \(P = 0\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK Bài 1 Chương 1 Toán 11 Cánh Diều

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 1 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 11 Cánh Diều

Khởi động trang 5 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 5 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 7 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 8 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 8 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 9 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 9 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Luyện tập 5 trang 9 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD

Hoạt động 6 trang 10 SGK Toán 11 Cánh Diều tập 1 - CD