Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Ở lớp dưới, ta đã làm quen với một số phép tính trong tập hợp các số thực, chẳng hạn: phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên và những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa các luỹ thừa như vậy. Việc lấy các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã hình thành nên những phép tính mới trong tập hợp các số thực, đó là những phép tính lượng giác. 

Có hay không những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác?

Cho tam giác MNP có đường cao PQ (Hình 17).

a)  Viết công thức tính PQ theo cạnh n và góc a; công thức tính PQ theo cạnh m và góc b

b)  Viết công thức tính diện tích mỗi tam giác MPQ, NPQ, MNP theo các cạnh m, n và các cạnh m, n và các góc a, b, a + b

c)  Sử dụng kết quả: \[{S_{MPN}} = {S_{MPQ}} + {S_{NPQ}}\]

Hãy tìm công thức tính sin(a+b) theo sina, cosa, sinb, cosb. Từ đó rút ra đẳng sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb (∗).$$

d)  Tính sin(a−b)$$ bằng cách biến đổi sin(a−b) = sin[a + (−b)] và sử dụng công thức (*).

Tính \(\frac{\pi }{{12}}\).

a) Tính \(\cos (a + b)\) bằng cách biến đổi \(cos\left( {a + b} \right) = sin\left( {\frac{\pi }{2} - \left( {a + b} \right)} \right) = \sin \left( {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right)\) và sử dụng công thức cộng đối với sin.

b) Tính \(\cos (a – b)\) bằng cách biến đổi \(\cos (a – b)\) = \(\cos [a + (-b)]\) và sử dụng công thức \(\cos (a + b)\) có được ở câu a.

Tính \(cos{15^o}\).

a) Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính \(\tan (a + b)\) theo tana và tanb khi các biểu thức đều có nghĩa.

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính \(\tan (a - b)\) bằng cách biến đổi

\(\tan (a - b) = \tan [a + ( - b)]\) và sử dụng công thức \(\tan (a + b)\) có được ở câu a.

Tính \(tan165^\circ \).

Tính \(\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a\) bằng cách thay \(b = a\) trong công thức cộng.

Cho \(\tan \frac{a}{2} =  - 2\). Tính tana?

Tính: \(\sin \frac{\pi }{8};\cos \frac{\pi }{8}\).

Sử dụng công thức cộng, rút gọn mỗi biểu thức sau:

\(\cos (a + b) + \cos (a - b);\cos (a + b) - \cos (a - b);\sin (a + b) + \sin (a - b)\)

Cho \(\cos a = \frac{2}{3}\). Tính \(B = \cos \frac{{3a}}{2}\cos \frac{a}{2}\).

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt a + b = u; a − b = v rồi biến đổi các biểu thức sau thành tích: \(\cos u + \cos v;\sin u + \sin v;\sin u - \sin v\)

Tính: \(D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{{\rm{cos}}\frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9}}}\).

Cho \(\cos \alpha  = \frac{3}{5}\) với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\). Tính \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\), \(\cos \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right)\), \(\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Tính:

a) \(A = \sin (a - {17^o})\cos (a + {13^o}) - \sin (a + {13^o})\cos (a - {17^o})\).

b) \(B = \cos \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right) - \sin \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right)\).

Cho tan(a + b) = 3, tan(a – b) = 2. Tính: tan2a, tan2b.

Cho \(\sin a = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Tính cos2a, cos4a.

Cho sina + cosa = 1. Tính: sin2a.

 Cho \(\cos 2a = \frac{1}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính: sina, cosa, tana.

Cho cos2x = $\frac{1}{4}$. Tính: A = cos$\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$cos$\left(x-\frac{\pi }{6}\right)$; B = sin$\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$sin$\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$.

Rút gọn biểu thức: A = $\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}$.

Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 18).

a) Tính tanα, ở đó α là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tìm góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Rút gọn biểu thức: A = $\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}$.

Có hai chung cư cao tầng I và II xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư II người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư I mà camera có thể quan sát được (Hình 19). Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư I). Biết rằng chiều cao của chung cư II là CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Cho hai góc \(a\) và \(b\) với \(\tan a = \frac{1}{7}\) và \(\tan b = \frac{3}{4}\). Khi đó \(\tan \left( {a + b} \right)\) bằng:

A. \(1\)

B. \( - \frac{{17}}{{31}}\)

C. \(\frac{{17}}{{31}}\)

D.\( - 1\)

Nếu \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) thì giá trị của \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2}\)

B. \(\sqrt 6 - 3\)

C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{6} - 3\)

D. \(\sqrt 6 - \frac{1}{2}\)

Nếu \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) thì giá trị của biểu thức \(P = \left( {1 - 3\cos 2\alpha } \right)\left( {2 + 3\cos 2\alpha } \right)\) bằng:

A. \(\frac{{11}}{9}\)

B. \(\frac{{12}}{9}\)

C. \(\frac{{13}}{9}\)

D. \(\frac{{14}}{9}\)

Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{4}\)

B. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\)

C. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{2}\)

D. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{2}\)

Rút gọn biểu thức \(\cos \left( {{{120}^o} - x} \right) + \cos \left( {{{120}^o} + x} \right) - \cos x\) ta được kết quả là:

A. \( - 2\cos x\)

B. \( - \cos x\)

C. \(0\)

D. \(\sin x - \cos x\)

Nếu \(\cos a = \frac{3}{4}\) thì giá trị của \(\cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}\) bằng:

A. \(\frac{{23}}{{16}}\)

B. \(\frac{7}{8}\)

C. \(\frac{7}{{16}}\)

D. \(\frac{{23}}{8}\)

Nếu \(\cos a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) thì giá trị của biểu thức \(A = 4\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right)\) bằng:

A. \( - \frac{{11}}{9}\)

B. \(\frac{{11}}{9}\)

C. \( - \frac{1}{9}\)

D. \(\frac{1}{9}\)

Nếu \(\cos a = \frac{1}{3}\), \(\sin b = \frac{{ - 2}}{3}\) thì giá trị \(\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right)\) bằng:

A. \( - \frac{2}{3}\)

B. \(\frac{1}{3}\)

C. \(\frac{2}{3}\)

D. \( - \frac{1}{3}\)

Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}}}\) bằng:

A. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

B. \( - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

C. \(\sqrt 3 \)

D. \( - \sqrt 3 \)

Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}\) ta được kết quả là:

A. \(\tan x\)

B. \(\tan 3x\)

C. \(\tan 2x\)

D. \(\tan x + \tan 2x + \tan 3x\)

Cho \(\sin a = \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính:

a) \(\cos a\), \(\tan a\)

b) \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\), \(\cos \left( {a - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\), \(\tan \left( {a + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

c) \(\sin 2a\), \(\cos 2a\)

Cho \(\cos a = 0,2\) với \(\pi < a < 2\pi \). Tính \(\sin \frac{a}{2}\), \(\cos \frac{a}{2}\), \(\tan \frac{a}{2}\)?

Cho \(\tan \frac{a}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Tính \(\sin a\), \(\cos a\), \(\tan a\)?

Cho \(\cos \left( {a + 2b} \right) = 2\cos a\). Chứng minh rằng \(\tan \left( {a + b} \right)\tan b = \frac{{ - 1}}{3}\)?

Cho tam giác \(ABC\), chứng minh rằng:

a) \(\tan A + \tan B + \tan C = \tan A{\rm{ }}{\rm{. }}\tan B{\rm{ }}{\rm{. }}\tan C\) (với điều kiện tam giác \(ABC\) không vuông);

b) \(\tan \frac{A}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{A}{2} = 1\).

Trên một mảnh đất hình vuông \(ABCD\), bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí \(A\) chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc \(C\). Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia \(AM\) và \(AN\), ở đó các điểm \(M\), \(N\) lần lượt thuộc các cạnh \(BC\), \(CD\) sao cho \(BM = \frac{1}{2}BC\), \(DN = \frac{1}{3}DC\) (xem hình vẽ).

a) Tính \(\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right)\)?

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?