Bài tập 4 trang 109 SGK Toán 10 NC

a) Giả sử ta có 

\(\sqrt {2000}  + \sqrt {2005}  < \sqrt {2000}  + \sqrt {2003} \,\,\left( 1 \right)\)

Khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2000}  + \sqrt {2005} } \right)^2}\\
 < {\left( {\sqrt {2000}  + \sqrt {2003} } \right)^2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 4005 + 2\sqrt {2000.2005} \\
 < 4005 + 2\sqrt {2002.2003} 
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow 2000.2005 < 2002.2003}\\
{ \Leftrightarrow 2000.2005 < \left( {2000 + 2} \right)\left( {2005 - 2} \right)}\\
{ \Leftrightarrow 2000.2005 < 2000.2005 + 6\left( {ld} \right)}
\end{array}\)

Vậy \(\sqrt {2000}  + \sqrt {2005}  < \sqrt {2000}  + \sqrt {2003} \)

b) Giả sử ta có

\(\begin{array}{l}
\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4}  \le \sqrt a  + \sqrt {a + 6} \\
\left( {a \ge 0} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)
\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4} } \right)^2}\\
 \le {\left( {\sqrt a  + \sqrt {a + 6} } \right)^2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 2a + 6 + 2\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {a + 6} \right)} \\
 \le 2a + 6 + 2\sqrt {a\left( {a + 6} \right)} 
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)\left( {a + 4} \right) \le a\left( {a + 6} \right)}\\
{ \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 8 \le {a^2} + 6a \Leftrightarrow 8 \le 0}
\end{array}\)

Vì \(8 \le 0\) là vô lý nên 

\(\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4}  > \sqrt a  + \sqrt {a + 6} \)

-- Mod Toán 10 HỌC247