Hỏi đáp về Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Bunyakovsky và ứng dụng?

Cho a,b,c > 0 ,abc = 1 . CMR a³+ b³ + c³  a+ b + c

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S = +  + 

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz = 1 CMR:

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{^{ }yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}\)

CMR: \(a^8+b^8+c^8\) ≥ \(a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)

Chứng minh bất đẳng thức : \(a +4/(a-b)(b+1)^2\) ≥3

Cho các số dương a,b,c. CMR:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}>2\)

@Lightning Farron

Chứng minh bất đẳng thức sau

\(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+.....+\dfrac{1}{2n}\ge\dfrac{1}{2}\) \(\left(n\in N^{sao}\right)\)

Hãy chứng min rằng :
1) \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2},\forall a,b,c,d\in R\)

2) \(\sqrt{4\cos^2x.\cos^2y+\sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4\sin^2x.\sin^2y+\sin^2\left(x-y\right)}\ge2,\forall x,y\in R\)

Cho 3 số thực dương x,y,z. Tìm MinP= \(\frac{x^3+y^3+z^3}{xy+2yz+zx}\)

Cho các số thực dương x,y,z. Tìm Min P=\(\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+2yz+xz}\)

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

1.

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\)+ \(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}\)+ \(\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\) ≥ 1

2.

\(\dfrac{a}{b+2c+3d}\)+\(\dfrac{b}{c+2d+3a}\)+\(\dfrac{c}{d+2a+3b}\)+ \(\dfrac{d}{a+2b+3c}\) ≥ \(\dfrac{2}{3}\)

3.

\(\dfrac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\) + \(\dfrac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\) + \(\dfrac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}\) + \(\dfrac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\) ≥ \(\dfrac{a+b+c+d}{4}\)

Bất đẳng thức BuNyaKovSky ( BCS )

a,b,c>0. CM: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\) + \(\dfrac{3}{\sqrt{b}}\) + \(\dfrac{8}{\sqrt{3c+2a}}\) \(\ge\) \(\dfrac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}\)

1/ Cho a,b,c không âm và \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \) >= 1. Tìm GTNN cũa biểu thức \(P=a^7+b^7+c^7\)

2/ Cho a,b,c không âm và \(ab+bc+ca=1\).CMR \(a^3+b^3+c^3 >= \) \(\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)

Tìm min của y = \(\dfrac{x^2}{x+1}\) với x >0

Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr

\(\sum\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)

Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

\(\dfrac{b+c}{a^2+bc}+\dfrac{c+a}{b^2+ca}+\dfrac{a+b}{c^2+ab}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

1. Cho \(x,y,z\) là 3 số thực dương thõa mản xyz = 1. C/m BĐT

\(\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}\le\dfrac{3}{16}\)

2. Cho x,y,z không âm và thõa mản \(x^2+y^2+z^2=1\). C/m BĐT

\(\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^2+1}}\right)\le\dfrac{3}{2}\)

Tìm tất cả các số thực k sao cho BĐT sau đúng với mọi số thực không âm a,b,c

\(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+k.max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\le a^2+b^2+c^2\)

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(ab+bc+ca+2abc=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-2\left(a+b+c\right)\)

Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x³ + y³ + z³ = 1. Chứng minh:

\(P=\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\)

Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\dfrac{b+c}{a^2}+\dfrac{c+a}{b^2}+\dfrac{a+b}{c^2}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)

Cho x > 0, y > 0, z > 0 và \(x^3+y^3+z^3=1\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)

1)a,b,c >0 ; a+b+c=1. CMR:

\(\dfrac{a}{1+a}\) + \(\dfrac{2b}{2+b}\) +\(\dfrac{3c}{c+3}\) \(\le\) \(\dfrac{6}{7}\)

2) x,y,z >0; 4x+9y+16z=49

CMR: \(\dfrac{1}{x}\) + \(\dfrac{25}{y}\) + \(\dfrac{64}{z}\) \(\ge\) 49

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a+b+c\le3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(M=\dfrac{a^2+6a+3}{a^2+a}+\dfrac{b^2+6b+3}{b^2+b}+\dfrac{c^2+6c+3}{c^2+c}\)