ON
YOMEDIA
VIDEO_3D

Bài tập 16 trang 112 SGK Toán 10 NC

Bài tập 16 trang 112 SGK Toán 10 NC

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

a) \(\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 1\)

b) \(\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 2\)

VDO.AI

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Ta có \(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}},\forall k \ge 1\)

Do đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\
 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}
\end{array}\\
{ = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1}
\end{array}\)

b) Ta có \(\frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} \)

\(\Rightarrow \frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k}\left( {k \ge 2} \right)\)

Do đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\\
 < 1 + \left( {1 - \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\\
 < 2 - \frac{1}{n} < 2
\end{array}
\end{array}\)

-- Mod Toán 10 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 16 trang 112 SGK Toán 10 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_bg] => 
            [banner_picture] => 809_1633914298.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/ma-tk-vip/?utm_source=hoc247net&utm_medium=PopUp&utm_campaign=Hoc247Net
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-10-31 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)