Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật

Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp

Theo đề bài ta có \(y = 3x\) và \(V = hxy \Rightarrow h = \frac{V}{{xy}} = \frac{V}{{3{x^2}}}\)

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần của hồ

nước là nhỏ nhất.

Khi đó ta có: \({S_{tp}} = 2xh + 2yh + xy = 2x\frac{V}{{3{x^2}}} + 2.3x.\frac{V}{{3{x^2}}} + x.3x = \frac{{8V}}{{3x}} + 3{x^2}\)

Ta có \({S_{tp}} = \frac{{8V}}{{3x}} + 3{x^2} = \frac{{4V}}{{3x}} + \frac{{4V}}{{3x}} + 3{x^2}\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 3\sqrt[3]{{\frac{{16{V^2}}}{3}}} = 36\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{4V}}{{3x}} = 3{x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{4V}}{9}}} = 2 \Rightarrow h = \frac{V}{{3{x^2}}} = \frac{3}{2}\).