Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên

Đặt \(a = 50cm\)

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là \(x,y\left( {x,y > 0} \right)\). Ta có \(SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi {x^2} + \pi x\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Theo giả thiết ta có

\(\begin{array}{l}\pi {x^2} + \pi x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \pi {a^2} \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + {x^2} = {a^2}\\ \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = {a^2} - {x^2} \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {a^4} + {x^4} - 2{a^2}{x^2},\left( {DK:x < a} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{a^4}}}{{{y^2} + 2{a^2}}}\end{array}\)

Khi đó thể tích khối  nón là \(\)

\(V = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{a^4}}}{{{y^2} + 2{a^2}}}.y = \frac{1}{3}\pi {a^4}.\frac{y}{{{y^2} + 2{a^2}}}\)

\(V\)  đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ  khi \(\frac{{{y^2} + 2{a^2}}}{y}\)đạt giá trị nhỏ  nhất

Ta có  \(\frac{{{y^2} + 2{a^2}}}{y} = y + \frac{{2{a^2}}}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{{2{a^2}}}{y}}  = 2\sqrt 2 a\)

Vậy \(V\)  đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(y = \frac{{2{a^2}}}{y}\) , tức là\(y = a\sqrt 2  \Rightarrow x = \frac{a}{2} = 25cm\)

Lưu ý: Bài trên các em xét hàm số và lập bảng biến thiên cũng được nhé.