AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính \(50cm\). Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là:

    • A. \(10\sqrt 2 cm\)
    • B. \(20cm\)
    • C. \(50\sqrt 2 cm\)  
    • D. \(25cm\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Đặt \(a = 50cm\)

    Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là \(x,y\left( {x,y > 0} \right)\). Ta có \(SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

    Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi {x^2} + \pi x\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

    Theo giả thiết ta có

    \(\begin{array}{l}\pi {x^2} + \pi x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \pi {a^2} \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + {x^2} = {a^2}\\ \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = {a^2} - {x^2} \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {a^4} + {x^4} - 2{a^2}{x^2},\left( {DK:x < a} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{a^4}}}{{{y^2} + 2{a^2}}}\end{array}\)

    Khi đó thể tích khối  nón là \(\)

    \(V = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{a^4}}}{{{y^2} + 2{a^2}}}.y = \frac{1}{3}\pi {a^4}.\frac{y}{{{y^2} + 2{a^2}}}\)

    \(V\)  đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ  khi \(\frac{{{y^2} + 2{a^2}}}{y}\)đạt giá trị nhỏ  nhất

    Ta có  \(\frac{{{y^2} + 2{a^2}}}{y} = y + \frac{{2{a^2}}}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{{2{a^2}}}{y}}  = 2\sqrt 2 a\)

    Vậy \(V\)  đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(y = \frac{{2{a^2}}}{y}\) , tức là\(y = a\sqrt 2  \Rightarrow x = \frac{a}{2} = 25cm\)

    Lưu ý: Bài trên các em xét hàm số và lập bảng biến thiên cũng được nhé.

    RANDOM

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>