YOMEDIA

Bài tập 6 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải bài 6 tr 58 sách GK Toán ĐS & GT lớp 11

Chứng minh rằng:
a) \(\small 11^{10} - 1\) chia hết cho 100;

b) \(\small 101^{100} - 1\) chia hết cho 10 000;

c) \(\small \sqrt{10}[(1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100}]\) là một số nguyên.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 6

Câu a:

Ta có:

\(11^{10}- 1 = (1 + 10)^{10} =C_{10}^{0}.10^{10}+C_{10}^{1}.10^9+...\)\(+ C_{10}^{8}.10^2+C_{10}^{9}.10+C_{10}^{10}\)

\(=100(C_{10}^{0}.10^8+C_{10}^{1}.10^7+...+ C_{10}^{8}+1)+1\)

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 1110 – 1 chia hết cho 100.

Câu b:

Ta có \(101^{100}=(100+1)^{100}=C_{100}^{0}.100^{100}\)

\(+C_{100}^{1}.100^{99}+...+ C_{100}^{99}.100+C_{100}^{100}\)

\(=100^2\left [ C_{100}^{0}.100^{98}+C_{100}^{1}.100^{97}+...+1 \right ]\)

Vậy \(101^{100}=10000\left [ C_{100}^{0}.100^{98}+C_{100}^{1}.100^{97}+...+1 \right ]\) chia hết cho 10 000.

Câu c:

Ta có \((1+\sqrt{10})^{100}=C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}\sqrt{10^2}+...+\)\(C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}}+C_{100}^{100}\)

\((1-\sqrt{10})^{100}=C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}\sqrt{10^2}+...-\)\(C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}}+C_{100}^{100}\)

Do đó: \((1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100}=2 \left ( C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}\sqrt{10^2}+...+ C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}}\right )\)

Vậy nên: \(\sqrt{40}\left [ (1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100} \right ].\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 6 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11 HAY thì click chia sẻ 

 

YOMEDIA