Giải bài tập SGK Bài 2 Chương 6 Toán 10 Cơ bản & Nâng cao

Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không?  

a) \(-0,7\);    b) \(\frac{4}{3}\)     c) \(-\sqrt{}2\);          d)\(\frac{\sqrt{5}}{2}\) 

Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a)  \(sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}\) và  \(cos\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\);

b) \(sin\alpha = -\frac{4}{5}\) và  \(cos\alpha =-\frac{3}{5}\)

 c) \(sin\alpha =0,7\) và \(cos\alpha = 0,3\)

Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác

a) \(sin(\alpha - \pi )\);                 b) \(cos( \frac{3\prod }{2}- \alpha )\)

c) \(tan(\alpha + \pi )\);                d) \(cot(\alpha + \frac{\pi}{2})\)

Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:

a)  \(cos\alpha =\frac{4}{13}\) và  \(0 < \alpha <\frac{\pi }{2}\);             b) \(sin\alpha = -0,7\)và  \(\pi < \alpha <\frac{3\pi }{2}\);

c)  \(tan \alpha=-\frac{15}{7}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi\);          d) \(cot \alpha = -3\) và \(\frac{3\pi }{2} < \alpha < 2\pi\).

Tính \(\alpha\), biết:

a) \(cos \alpha = 1\);              b) \(cos\alpha = -1\)

c) \(cos\alpha = 0\);               d)\(sin \alpha = 1\)

e) \(sin \alpha = -1;\)            f) \(sin \alpha = 0,\) 

Cho \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau

a) \(\cos \left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right)\)          b) \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\)

c) \(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\)          d) \(\cot \left( {\alpha  + \pi } \right)\)

Chứng minh rằng với mọi α, ta luôn có:

a) \(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \alpha \)

b) \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \sin \alpha \)

c) \(\tan \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \cot \alpha \)

d) \(\cot \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \tan \alpha \)

Biết \(\sin \alpha  = \frac{3}{4}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Tính 

A. \(\frac{{2\tan \alpha  - 3\cot \alpha }}{{\cos \alpha  + \tan \alpha }}\)

B. \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha  + {{\cot }^2}\alpha }}{{\tan \alpha  + \cot \alpha }}\)

Cho \(\tan \alpha  - 3\cot \alpha  = 6\) và \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính

a) \(\sin \alpha  + \cos \alpha \)

b) \(\frac{{2\sin \alpha  - \tan \alpha }}{{\cos \alpha  + \cot \alpha }}\)

Cho tanα + cotα = m, hãy tính theo m

a) tan²α + cot²α

b) tan³α + cot³α

Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức

a) A = tan18^οtan288^ο + sin32^οsin148^ο - sin302^οsin122^ο

b) \(B = \frac{{1 + {{\sin }^4}\alpha  - {{\cos }^4}\alpha }}{{1 - {{\sin }^6}\alpha  - {{\cos }^6}\alpha }}\)

Chứng minh rằng với mọi α làm cho biểu thức \(\frac{{\sin \alpha  + \tan \alpha }}{{\cos \alpha  + \cot \alpha }}\) có nghĩa, biểu thức đó không thể là một số âm.

Giá trị \(\cos \frac{{59\pi }}{6}\) là

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(-\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(-\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Cho \(\sin \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) với \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi \). Giá trị \(\cot \alpha \) là

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

C. \(-\frac{1}{2}\)

D. \(-\frac{3}{{\sqrt 5 }}\)

Cho \(\cot \alpha  = \frac{{ - 2}}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Giá trị cosα là

A. \(\frac{{ - 2}}{{\sqrt {13} }}\)

B. \(\frac{2}{{\sqrt {13} }}\)

C. \(\frac{2}{5}\)

D. \(\frac{{ - \sqrt {13} }}{2}\)

Cho \(\tan \alpha  =  - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\). Giá trị của biểu thức là

\(M = \frac{{3\cos \alpha  - 5\sin \alpha }}{{ - 2\cos \alpha  + 3\sin \alpha }}\)

A. \(\frac{{5 + \sqrt 2 }}{6}\)

B. \( - \frac{{8 + \sqrt 2 }}{6}\)

C. \(\frac{{8 - \sqrt 2 }}{6}\)

D. \(\frac{{13 - 5\sqrt 2 }}{2}\)

Cho \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\) \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\). Giá trị của \(\cot \left( {\alpha  + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\) là

A. \(\frac{{ - \sqrt {14} }}{2}\)

B. \(\frac{{\sqrt 7 }}{3}\)

C. \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)

D. \(\frac{{ - \sqrt 7 }}{3}\)

Cho tanα + cotα = - 2. Giá trị của biểu thức N = tan³α + cot³α là

A. 3            B. 4

C. -2           D. 2

Cho \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{4}\). Giá trị \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right)\) là

A. \(\frac{{ - 4\sqrt 5 }}{5}\)

B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{4}\)

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

D. \(\frac{{ - \sqrt 5 }}{4}\)

Cho \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\). Giá trị của biểu thức

\(P = \frac{{{{\tan }^2}\alpha  + {{\cot }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}\)

A. \(\frac{{51}}{7}\)

B. \(\frac{{31}}{4}\)

C. \(\frac{{45}}{4}\)

D. \(\frac{{22}}{3}\)

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu α âm thì ít nhất một trong các số cosα, sinα phải âm.

b) Nếu α dương thì \(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } \)

c) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các số thực sau trùng nhau:

\(\frac{\pi }{4}; - \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}; - \frac{{17\pi }}{4}\)

d) Ba số sau bằng nhau: 

\({\cos ^2}{45^0};\sin \left( {\frac{\pi }{3}{\rm{cos}}\frac{\pi }{3}} \right); - \sin {210^0}\)

e) Hai số sau khác nhau: 

\(\sin \frac{{11\pi }}{6};\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} + 1505\pi } \right)\)

f) Các điểm của đường tròn lượng giác lần lượt xác định bởi các số đo: \(0;\frac{\pi }{3};\pi ; - \frac{{2\pi }}{3}; - \frac{\pi }{3}\) là các đỉnh liên tiếp của một lục giác đều.

Tìm các điểm của đường tròn lượng giác xác định bởi số α trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \)

b) \(\sqrt {{{\sin }^2}\alpha }  = \sin \alpha \)

c) \(\tan \alpha  = \frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } }}{{\cos \alpha }}\)

Xác định dấu của các số sau:

a) \(\sin {156^0};\cos \left( { - {{80}^0}} \right);\tan \left( { - \frac{{17\pi }}{8}} \right);\)

\(\tan {556^0}\)

b) \(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right);\cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{8}} \right);\tan \left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right)\) 

\(\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\)

Tính giá trị lượng giác của các góc sau:

a) \( - \frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi \)

b) \(k\pi \)

c) \(\frac{\pi }{2} + k\pi \)

d) \(\frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right)\)

Tính giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\cos \alpha  = \frac{1}{4};\sin \alpha  < 0\)

b) \(\sin \alpha  =  - \frac{1}{3};\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)

c) \(\tan \alpha  = \frac{1}{2}; - \pi  < \alpha  < 0\)

Đơn giản biểu thức

a) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha } \)

b) \(\frac{{1 - \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{1}{{1 + \cos \alpha }}\)

c) \(\frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\cos ^2}\alpha \left( {\cos \alpha  \ne 0} \right)\)

Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:

\(\begin{array}{l}
{225^0}; - {225^0};{750^0}; - {510^0}\\
;\frac{{5\pi }}{3};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{ - 10\pi }}{3}; - \frac{{17\pi }}{3}
\end{array}\)

Xét góc lượng giác (OA; OM) = α, trong đó M là điểm không nằm trên các trục tọa độ Ox, Oy. Hãy lập bảng dấu của sin α, cos α, tan α theo vị trí M thuộc góc phần tư thứ I, II, III, IV xác định bởi hệ tọa độ Oxy. Hỏi M trong góc phần tư nào thì.

a) sin α ,cos α cùng dấu

b) sin α ,tan α khác dấu

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \({\cos ^4}\alpha  - {\sin ^4}\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\)

b) \(1 - {\cot ^4}\alpha  = \frac{2}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{1}{{{{\sin }^4}\alpha }}\left( {\sin \alpha  \ne 0} \right)\)

c) \(\frac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} = 1 + 2{\tan ^2}\alpha \left( {\sin \alpha  \ne  \pm 1} \right)\)

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α

a) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + 4\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)}  + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha  + 4{{\sin }^2}\alpha } \)

b) \(2\left( {{{\sin }^6}\alpha  + {{\cos }^6}\alpha } \right) - 3\left( {{{\cos }^4}\alpha  + {{\sin }^4}\alpha } \right)\)

c) \(\frac{2}{{\tan \alpha  - 1}} + \frac{{\cot \alpha  + 1}}{{\cot \alpha  - 1}}\left( {\tan \alpha  \ne 1}\right) \)

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai:

a) Khi α đổi dấu (tức thay α bởi - α ) thì cos α và sin α đổi dấu còn tan α không đổi dấu

b) Với mọi α thì sin α = 2 sinα

c) Với mọi α, 

\(\begin{array}{l}
\left| {\sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right) - \cos \left( {\alpha  + \pi } \right)} \right| + \\
\left| {\cos \left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha  - \pi } \right)} \right| = 0
\end{array}\)

d) Nếu \(\cos \alpha  \ne 0\) thì 

\(\frac{{\cos \left( { - 5\alpha } \right)}}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - 5\alpha }}{\alpha } =  - 5\)

e) \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} = 1\)

g) \(\sin \frac{\pi }{{10}} = \cos \frac{{2\pi }}{5}\)

Tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc cung α và \(\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}\)

Tính:

a) sin²10⁰ + sin²20⁰ +....+ sin² 80⁰  (8 số hạng)

b) cos10⁰ + cos 20⁰ +....+ cos 180⁰ ( 18 số hạng)

c) cos 315⁰ + sin 330⁰ + sin250⁰ – cos 160⁰

Dùng bảng tính sin, cos (hoặc dùng máy tính bỏ túi) để tính giá trị sau (chính xác đến hàng phần nghìn). cos (- 250⁰);  sin520⁰ và \(\sin \frac{{11\pi }}{{10}}\)

Xét hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với đường tròn lượng giác kiểm nghiệm rằng điểm M với tọa độ \(\left( { - \frac{4}{5};\frac{3}{5}} \right)\) nằm trên đường tròn lượng giác đó. Giả sử điểm M xác định bới số α . Tìm tọa độ các điểm xác định bởi các số: π - α ; π + α ; \(\frac{\pi }{2}\) - α và \(\frac{\pi }{2}\) + α.

Hỏi các góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo như sau: 2594^o; -646^o; -2446^o và 74^o thì có cùng tia cuối không?

Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:

\(\begin{array}{l}
\cos {250^0};\tan \left( { - {{672}^0}} \right);\tan \frac{{31\pi }}{8};\\
\sin \left( { - {{1050}^0}} \right);\cos \frac{{16\pi }}{5}
\end{array}\)

Hãy tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\sin \alpha  = \frac{4}{5};\cos \alpha  < 0\)

b) \(\cos \alpha  =  - \frac{8}{{17}};\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \)

c) \(\tan \alpha  = \sqrt 3 ;\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)

Tính

a) Tính \(\sin \frac{{25\pi }}{6} + \cos \frac{{25\pi }}{3} + \tan \left( { - \frac{{25\pi }}{4}} \right)\)

b) Biết \(\sin \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \frac{1}{3}\), hãy tính \(\cos \left( {2\pi  - \alpha } \right)\), \(\tan \left( {\alpha  - 7\pi } \right)\) và \(\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\)

Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }}\)

b) \({\tan ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = {\tan ^2}\alpha .{\sin ^2}\)

c) \(2\left( {1 - \sin \alpha } \right)\left( {1 + \cos \alpha } \right) = {\rm{ }}{\left( {1 - \sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2}\)

Biết \(\sin \alpha  - \cos \alpha  = m\), hãy tính \({\sin ^3}\alpha  - {\cos ^3}\alpha \)

Với số \(\alpha ,\,0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\), xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi 2α, rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn).

a) Tính AM² bằng hai cách khác nhau để suy ra: cos2α = 1 – 2sin²α

b) Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra: sin2α = 2sinα cosα

c) Chứng minh: \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } ;\)

\(\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \) 

rồi tính các giá trị lượng giác của các góc \(\frac{{3\pi }}{8}\) và \(\frac{{5\pi }}{8}\)

Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với một đường tròn lượng giác, cho điểm P có tọa độ (2, - 3)

a) Chứng minh rằng điểm M sao cho \(\overrightarrow {OM}  = \frac{{\overrightarrow {OP} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|}}\) là giao điểm của tia OP với đường tròn lượng giác đó

b) Tính tọa độ điểm M và từ đó suy ra cosin, sin của góc lượng giác (Ox, OP)