Bài tập 36 trang 207 SGK Toán 10 NC
Với số \(\alpha ,\,0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\), xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi 2α, rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn).
a) Tính AM2 bằng hai cách khác nhau để suy ra: cos2α = 1 – 2sin2α
b) Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra: sin2α = 2sinα cosα
c) Chứng minh: \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } ;\)
\(\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)
rồi tính các giá trị lượng giác của các góc \(\frac{{3\pi }}{8}\) và \(\frac{{5\pi }}{8}\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
A{M^2} = \overline {AH} .\overline {AA'} \\
= \left( {\overline {AO} + \overline {OH} } \right).\overline {AA'}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
= \left( { - 1 + \cos 2\alpha } \right).\left( { - 2} \right)\\
= 2\left( {1 - \cos 2\alpha } \right)
\end{array}
\end{array}\)
Ta lại có: \(A{M^2} = AA{'^2}.{\sin ^2}\alpha = 4{\sin ^2}\alpha \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha = 1 - \cos 2\alpha \)
B) Ta có: \({S_{A'MA}} = \frac{1}{2}AA'.MH \)
\(= MH = \sin 2\alpha \)
Lại có:
\(\begin{array}{l}
{S_{A'MA}} = \frac{1}{2}A'M.AM\\
= \frac{1}{2}A'A.\cos \alpha .A'A.\sin \alpha \\
= 2\sin \alpha \cos \alpha
\end{array}\)
Vậy \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \)
c) Ta có \(\cos \frac{\pi }{4} = 1 - 2{\sin ^2}\frac{\pi }{8}\) nên:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\sin }^2}\frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}}\\
{\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}}\\
\begin{array}{l}
\cos \frac{\pi }{4} = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{8} - 1\\
\Rightarrow {\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\\
\Rightarrow \cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}
\end{array}
\end{array}\)
Vì \(\frac{{3\pi }}{8} = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{8}\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \frac{{3\pi }}{8} = \sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\\
\sin \frac{{3\pi }}{8} = \cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\\
\tan \frac{{3\pi }}{8} = \cot \frac{\pi }{8} = \sqrt 2 + 1\\
\cot \frac{{3\pi }}{8} = \tan \frac{\pi }{8} = \sqrt 2 - 1
\end{array} \right.\)
Vì \(\frac{{5\pi }}{8} = \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{8}\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \frac{{5\pi }}{8} = - \sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\\
\sin \frac{{5\pi }}{8} = \cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\\
\tan \frac{{5\pi }}{8} = - \cot \frac{\pi }{8} = - \sqrt 2 - 1\\
\cot \frac{{5\pi }}{8} = - \tan \frac{\pi }{8} = 1 - \sqrt 2
\end{array} \right.\)
-- Mod Toán 10 HỌC247
Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.
