Bài tập 33 trang 103 SGK Hình học 10 NC
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
a) Tính độ dài dây cung của (E) đi qua một tiêu điểm và vuông góc với trục tiêu (đoạn thẳng nối hai điểm của elip gọi là dây cung của elip, trục chứa các tiêu điểm gọi là trục tiêu của elip).
b) Tìm trên (E) điểm M sao cho MF1 = 2MF2, trong đó F1, F2 lần lượt là các tiêu điểm của (E) nằm bên trái và bên phải trục tung.
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Ta có: \(a = 3;b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 2 \)
\({F_1}\left( { - 2\sqrt 2 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)
Gọi M là điểm trên (E) có hoành độ \(x = 2\sqrt 2 \)
Thay \(x = 2\sqrt 2 \) vào phương trình (E) ta được:
\(\begin{array}{l}
\frac{8}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{9}\\
\Leftrightarrow y = \pm \frac{1}{3}
\end{array}\)
Vậy \({M_1}\left( {2\sqrt 2 ;\frac{1}{3}} \right),{M_2}\left( {2\sqrt 2 ; - \frac{1}{3}} \right)\) và độ dài dây cung cần tìm là \({M_1}{M_2} = \frac{2}{3}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{M{F_1} = a + \frac{c}{a}c = 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x}\\
{M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x}\\
\begin{array}{l}
M{F_1} = 2M{F_2}\\
\Leftrightarrow 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x = 6 - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}x
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}}
\end{array}\)
Thay \(x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\) vào phương trình elip ta được:
\(\begin{array}{l}
\frac{2}{{16}} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{7}{8}\\
\Leftrightarrow y = \pm \frac{{\sqrt {14} }}{4}
\end{array}\)
Vậy \({M_1}\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right),{M_2}\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4}; - \frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\).
-- Mod Toán 10 HỌC247
Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.
