Giải bài tập SGK Bài 3 Chương 4 Toán 11 Cơ bản & Nâng cao

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = x^3 + 2x - 1\) tại \(x_0 = 3\).

a) Xét tính liên tục của hàm số \(y = g(x)\) tại \(x_0 = 2\), biết 

 \(g(x) =\left\{\begin{matrix} \frac{x^{3}-8}{x- 2}; &x\neq 2 \\ 5;& x=2 \end{matrix}\right.\).

b) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại \(x_0 = 2\).

Cho hàm số  \(f(x) =\left\{\begin{matrix} 3x + 2; & x<-1\\ x^{2}-1 & x \geq -1 \end{matrix}\right.\)

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = f(x)\). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.

Cho hàm số  \(f(x) =\frac{x +1}{x^{2}+x-6}\) và \(g(x) = tanx + sin x\).

Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục.

Ý kiến sau đúng hay sai ?

"Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\) còn hàm số \(y = g(x)\) không liên tục tại x₀, thì \(y = f(x) + g(x)\) là một hàm số không liên tục tại \(x_0\)_." 

Chứng minh rằng phương trình:

a) \(2x^3 + 6x + 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm;

b) \(cosx = x\) có nghiệm.

Cho hàm số \(f(x) = \frac{{(x - 1)|x|}}{x}\)

Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.

Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a;b] và trên (b;c) nhưng không liên tục trên (a;c).

Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a;b] và trên [b;c) thì nó liên tục trên (a;c).

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) chứa điểm x₀.

Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = L\) thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀.

Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \sqrt {x + 5} \) tại x = 4

b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x}  - 1}},\,\,x < 1\\
 - 2x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\) tại x = 1

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }},\,\,x \ne \sqrt 2 \\
2\sqrt 2 ,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \sqrt 2 
\end{array} \right.\)

b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,x \ne 2\\
3,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 2
\end{array} \right.\)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt x  - 1}}{{{x^2} - 1}},x \ne 1\\
{m^2},\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1
\end{array} \right.\) liên tục trên (0;+∞)

Chứng minh rằng phương trình

a) \({x^5} - 3x - 7 = 0\) luôn có nghiệm;

b) \(\cos 2x = 2\sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{6};\pi } \right)\)

c) \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1}  - 2 = 0\) có nghiệm dương.

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

a) \((1 - {m^2}){(x + 1)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)

b) \(m(2\cos x - \sqrt 2 ) = 2\sin 5x + 1\)

Chứng minh phương trình \({x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n} = 0\) luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a;b)? Cho ví dụ minh họa.

Cho hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a;b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh họa hình học.

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a. Hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu:

A. f(x) có giới hạn hữu hạn khi x → a

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \)

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = a\)

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = f(a)\)

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x}},\,\,\,x \ne  - 1\\
3x + a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x =  - 1
\end{array} \right.\)

Với giá trị nào của tham số  a a  thì hàm số  f(x)  liên tục tại  x = −1 ?

Phương trình x⁴−3x³+1 = 0

A. Không có nghiệm trong (−1;3)

B. Không có nghiệm trong (0;1)

C. Có ít nhất hai nghiệm

D. Chỉ có một nghiệm duy nhất

Chứng minh rằng:

a. Các hàm số \(f(x)=x^3−x+3\) và \(g\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm x ∈ R.

b. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}},\,\,\,x \ne 2\\
1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 2
\end{array} \right.\) liên tục tại điểm x = 2

c. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}},\,\,\,x \ne 1\\
2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1
\end{array} \right.\) gián đoạn tại điểm x = 1

Chứng minh rằng:

a. Hàm số \(f(x)=x^4−x^2+2\) liên tục trên R

b. Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1;1) ;

c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2;2];

d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:

a.  \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 4}}{{2x + 1}}\)

b.  \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - x}  + \sqrt {2 - x} \)

Chứng minh rằng phương trình :

x²cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π).

Chứng minh rằng:

a. Hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + 1} \right)^2},\,\,\,x \le 0\\
{x^2} + 2,\,\,\,\,\,\,\,x > 0
\end{array} \right.\) gián đoạn tại điểm x = 0

b. Mỗi hàm số

\(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) và \(h\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x - 2}},\,\,\,x \le 1\\
 - \frac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x > 1
\end{array} \right.\) liên tục trên tập xác định của nó.

Giải thích vì sao:

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\sin x - 2{\cos ^2}x + 3\) liên tục trên R.

b. Hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}}\) liên tục trên R

c. Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\sin x - {{\cos }^3}x}}{{x\sin x}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \ne k\pi ,k \in Z\).

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 3 + \frac{1}{{x - 2}}\) liên tục trên tập xác định của nó.

Chứng minh rằng phương trình x³+x+1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn - 1.