Bài tập 4.39 trang 171 SBT Toán 11

a) Xét hàm số \(f(x) = {x^5} - 3x - 7\) là hàm đa thức nên liên tục trên R$\mathbb{R}$

Ta có: \(f(0) =  - 7 < 0,f(2) = 19 > 0\)

Suy ra: f(0).f(2) < 0

Theo định lý 3, tồn tại x₀ ∈ (0;2) sao cho f(x0) = 0

Hay phương trình x⁵−3x−7 = 0 luôn có nghiệm.

b)   Xét hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) liên tục trên R

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
f\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + 2 = \frac{3}{2} > 0\\
f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \cos \pi  - 2\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 2 =  - 1 < 0\\
f\left( \pi  \right) = \cos 2\pi  - 2\sin \pi  + 2 = 3 > 0
\end{array}\)

Vì \(f\left( { - \frac{\pi }{6}} \right).f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) < 0\) nên tồn tại một số \({x_0} \in \left( { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho f(x₀) = 0 

Ta có: \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right).f\left( \pi  \right) < 0\) nên tồn tại một số \({x_0} \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) sao cho f(x₀) = 0

Vậy phương trình \(\cos 2x = 2\sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{6};\pi } \right)\)$$

c) Ta có: \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1}  - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^3} + 6x - 3\) liên tục trên R.

Ta có: \(f(0) =  - 3 < 0;f(1) = 4 > 0\) nên tồn tại một số dương x₀ thuộc (0;1) sao cho f(x₀) = 0.

Do đó phương trình có nghiệm dương.

-- Mod Toán 11 HỌC247