Bài tập 51 trang 175 SGK Toán 11 NC

a) Với mọi x₀ ∈ R, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^2} = x_0^2,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sin x = \sin {x_0}\)

và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)

(vì các hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2}\sin x - 2{{\cos }^2}x + 3} \right)\\
 = x_0^2\sin {x_0} - 2{\cos ^2}{x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)
\end{array}\)

Vậy hàm số f liên tục tại mọi điểm x₀ ∈ R.

Do đó hàm số f liên tục trên R.

b) Tập xác định của g là R

Với mọi x₀ ∈ R ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^3} = x_0^3,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sin x = \sin {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \frac{{x_0^3 + {x_0}\cos {x_0} + \sin {x_0}}}{{2\sin {x_0} + 3}} = g\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số g liên tục tại mọi x₀ ∈ R.

Do đó g liên tục trên R.

c) Tương tự b, ∀x0 ≠ kπ, k ∈ Z

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = \frac{{\left( {2{x_0} + 1} \right)\sin {x_0} - {{\cos }^3}{x_0}}}{{{x_0}\sin {x_0}}} = h\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số h liên tục tại mọi x₀ ∈ R.

Do đó h liên tục trên R.

-- Mod Toán 11 HỌC247