Bài tập 4.40 trang 171 SBT Toán 11

a) Xét đa thức \(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

Ta có:

\(f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 2 > 0,\forall m;f\left( { - 1} \right) =  - 1 < 0\)

Suy ra f(−1).f(−2) < 0.

Theo định lý 3, tồn tại một số x₀ ∈ (−2;−1) sao cho f(x₀) = 0

Do đó phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (−2;−1) với mọi m.

Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m

b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = m\left[ {2\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right] - 2\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) - 1 =  - 1 + \sqrt 2  > 0\\
f\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = m\left[ {2\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right] - 2\sin \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right) - 1 =  - 1 - \sqrt 2  < 0
\end{array}\)

Suy ra \(f\left( { - \frac{\pi }{4}} \right).f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) < 0\) với mọi m.

Tồn tại một nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\).

Vậy phương trình \(f(x) = 0\) luôn có nghiệm với mọi m. 

-- Mod Toán 11 HỌC247