Bài tập 47 trang 172 SGK Toán 11 NC

a) Hàm số \(f(x)=x^4−x^2+2\) xác định trên R.

Với mọi x₀ ∈ R ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} - {x^2} + 2} \right)\\
 = x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)
\end{array}\)

Vậy f liên tục tại x₀ nên f liên tục trên R.

b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi:

1−x² > 0 ⇔ −1< x < 1 

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1;1)

Với mọi x₀ ∈ (-1 ; 1), ta có: 

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\
 = \frac{1}{{\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)
\end{array}\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x₀. Do đó f liên tục trên khoảng (-1;1)

c) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2;2} \right)\), ta có:  

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2}  = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (- 2;2). Ngoài ra, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2.{{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 0 = f\left( { - 2} \right)\)

và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 2 \right)}^ - }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - {{2.2}^2}}  = 0 = f\left( 2 \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [- 2;2]

d) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Với \({x_0} \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} \\
 = \sqrt {2{x_0} - 1}  = f\left( {{x_0}} \right)
\end{array}\)

Nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) 

Mặt khác ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \sqrt {2x - 1}  = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

-- Mod Toán 11 HỌC247