Giải bài tập SGK Bài 1 Chương 5 Toán 11 Cơ bản & Nâng cao

Tìm số gia của hàm số \(f(x) = x^3\), biết rằng :

a) \(x_0 = 1; \Delta x = 1\)

b) \(x_0 = 1; \Delta x = -0,1\)

Tính \(\Delta y\) và  \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) của các hàm số sau theo x và \(\Delta x\) :

a) \(y = 2x - 5\);

b) \(y = x^2 - 1\);

c) \(y = 2x^3\);

d) \(y = \frac{1}{x}\).

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) \(y = x^2 + x\) tại \(x_0 = 1\);

b) \(y = \frac{1}{x}\) tại \(x_0 = 2\);

c)  \(y =\frac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\).

Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = (x - 1)^2\) nếu \(x \geq 0\) và \(f(x) = -x^2\) nếu \(x < 0\)

không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).

Cho đường cong \(y = x^3.\) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong trong các trường hợp:

a) Tại điểm có tọa độ (-1;-1);

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol  \(y =\frac{1}{x}\):

a) Tại điểm \((\frac{1}{2} ; 2)\)

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(- \frac{1}{4}\).

Một vật rơi tự do theo phương trình \(s=\frac{1}{2}gt^2,\) trong đó g ≈ 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t=5s) đến t + ∆t, biết rằng ∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s.

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s.

Chứng minh rằng hàm số \(y = |x - 1|\) không có đạo hàm tại x = 1, nhưng liên tục tại điểm đó.

Chứng minh rằng hàm số 

\(y = signx = \left\{ \begin{array}{l}
1,\,\,\,\,\,\,x > 0\\
0,\,\,\,\,\,\,x = 0\\
 - 1,\,\,\,\,x < 0
\end{array} \right.\)

không có đạo hàm tại x = 0.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (−1;−2)

b) \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ x = −2

c) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5

Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}
x,\,\,\,\,x < 0\\
{x^2},\,\,x \ge 0
\end{array} \right.\)
Hãy tính

a) \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to {0^ + }} \frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}}\) tại x = 0

b) \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to {0^ - }} \frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}}\) tại x=0$x=0$ 

Tìm số gia của hàm số y = x² − 1 tại điểm x₀ = 1 ứng với số gia ∆x, biết

a. ∆x = 1

b. ∆x = -0,1.

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀

\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = 2x + 1,{x_0} = 2\\
b)\,\,y = {x^2} + 3x,{x_0} = 1
\end{array}\)

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀ (a là hằng số)

a) y = ax + 3

b) \(y = \frac{1}{2}a{x^2}\)

Cho parabol y = x² và hai điểm A(2 ; 4) và B(2 + ∆x ; 4 + ∆y) trên parabol đó.

a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết ∆x lần lượt bằng 1 ; 0,1 và 0,01.

b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³, biết

a. Tiếp điểm có hoành độ bằng -1

b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8

c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là \(S = \frac{1}{2}g{t^2}\) , trong đó g = 9,8m/s² và t được tính bằng giây (s).

a. Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + ∆t với độ chính xác 0,001, biết t = 5 và ∆t lần lượt bằng 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

b. Tìm vận tốc tại thời điểm t = 5.

Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x⁵ trên R rồi suy ra f′(−1), f′(−2) và f′(2)

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau trên R.

a. y = ax² (a là hằng số)

b. y = x³ + 2

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau :

a) \(y = \frac{1}{{2x - 1}}\) với \(x \ne \frac{1}{2}\)

b) \(y = \sqrt {3 - x} \) với x < 3

a. Tính f′(3) và f′(−4) nếu f(x) = x³

b. Tính f′(1) và f′(9) nếu \(f(x) = \sqrt x \)

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ và đồ thị (G). Mệnh đề sau đây đúng hay sai ?

a. Nếu f′(x₀) = 0 thì tiếp tuyến của (G) tại điểm M(x₀; f(x₀)) song song với trục hoành.

b. Nếu tiếp tuyến của G tại điểm M(x₀; f(x₀)) song song với trục hoành thì f′(x₀) = 0

Hình 5.4 là đồ thị của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b). Biết rằng tại các điểm M₁, M₂ và M₃, đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, em hãy nêu nhận xét về dấu của f′(x₁), f′(x₂) và f′(x₃)

Chứng minh rằng để đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x₀; f(x₀)), điều kiện cần và đủ là \(\left\{ \begin{array}{l}
a = f\prime ({x_0})\\
a{x_0} + b = f({x_0})
\end{array} \right.\)

Cho hàm số y = |x|

a. Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0

b. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, nếu có.

c. Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm x0 thì có đạo hàm tại x0 ” đúng hay sai ?

Hình 5.5 là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Dựa vào hình vẽ, hãy cho biết tại mỗi điểm x₁, x₂, x₃ và x₄:

a. Hàm số có liên tục hay không ?

b. Hàm số có đạo hàm hay không ? Hãy tính đạo hàm nếu có.