Bài tập 3 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11

Phương pháp:

Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa:

• Tính \(\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f(x) - f({x_0})\)
• Lập tỷ số: \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
• Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c bài 1 như sau:

Câu a:

Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀ = 1. Ta có:

\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=(1+\Delta x)^2+(1+\Delta x)-2\)

\(=(\Delta x)^2+3\Delta x\)

\(\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(\Delta x)^2+3\Delta x}{\Delta x}= \Delta x+3\)

Suy ra \(y'(1)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\Delta x+3)=3\).

Câu b:

Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀ = 2. Ta có:

\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)= \frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}\)

\(\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{2(2+\Delta x)}.\)

Vậy \(y'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{-1}{2(2+\Delta x)} =-\frac{1}{4}\).

Câu c:

Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀ = 0.Ta có:

\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)= \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}+1=\frac{2.\Delta x}{\Delta x-1}\)

\(\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x}{\Delta x-1}.\frac{1}{\Delta x} =\frac{2}{\Delta x-1}\)

Vậy \(y'(0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2}{\Delta x-1}=-2.\)

-- Mod Toán 11 HỌC247