Bài tập 5.4 trang 198 SBT Toán 11

Ta có: f(1) = 0
Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x=1$x=1$ ta chứng minh không tồn tại giới hạn của \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)
Ta có: \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \left\{ \begin{array}{l}
1,\,\,\,\,\,x \ge 1\\
 - 1,\,\,x < 1
\end{array} \right.\)
Do vậy
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - 1} \right) =  - 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1 = 1
\end{array}\)
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của tỉ số \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}{\rm{khi}}\,x \to 1\)
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 1
Ta có: 

 Do vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số liên tục tại x = 1.