Bài tập 4 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11

Phương pháp:

Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) ta thực hiện như sau:

• Chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) không tồn tại.
• Hoặc chứng minh hàm số không liên tục tại \(x_0.\)

Lời giải:

Lời giải chi tiết bài 4 như sau:

Tại x=0:

Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {x - 1} \right)^2} = 1.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\left( { - x} \right)^2} = 0.\)

Do đó hàm số không liên tục tại x=0, suy ra hàm số không có đạo hàm tại x=0.

Tại x=2:

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \Delta y = f(2 + \Delta x) - f(2)\\ = {\left( {2 + \Delta x - 1} \right)^2} - {(2 - 1)^2} = {(1 + \Delta x)^2} - 1\\ = 1 + 2\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} - 1 = 2\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} \end{array}\)

\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 2 + \Delta x\)

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (2 + \Delta x) = 2\)

Vậy f'(2)=2 hay hàm số có đạo hàm tại x=2.

-- Mod Toán 11 HỌC247