Bài tập 5.6 trang 198 SBT Toán 11

a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = −1 bằng định nghĩa:

Giả sử Δx là số gia của đối số tại \({x_0} =  - 1\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1)\\
 = {( - 1 + \Delta x)^3} - 3{( - 1 + \Delta x)^2} + 2 - ( - 2)\\
 =  - 1 + 3\Delta x - 3{(\Delta x)^2} + {(\Delta x)^3} - 3[1 - 2\Delta x + {(\Delta x)^2}] + 4\\
 = {(\Delta x)^3} - 6{(\Delta x)^2} + 9\Delta x\\
 \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {(\Delta x)^2} - 6\Delta x + 9\\
 \Rightarrow y\prime ( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [{(\Delta x)^2} - \Delta x + 9] = 9
\end{array}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (−1;−2) là

\({y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow y + 2 = 9\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 9x + 7}\)

b) Điểm có hoành độ bằng −2 thì có tung độ là 8

Giả sử Δx là số gia của đối số tại \({x_0} =  - 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = {( - 2 + \Delta x)^4} - 2{( - 2 + \Delta x)^2} - 8\\
 = 16 - 32\Delta x + 24{(\Delta x)^2} - 8{(\Delta x)^3} + {(\Delta x)^4} - 8 + 8\Delta x - 2{(\Delta x)^2} - 8\\
 = {(\Delta x)^4} - 8{(\Delta x)^3} + 22{(\Delta x)^2} - 24\Delta x\\
 \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {(\Delta x)^3} - 8{(\Delta x)^2} + 22\Delta x - 24\\
 \Rightarrow y\prime ( - 2) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [{(\Delta x)^3} - 8{(\Delta x)^2} + 22\Delta x - 24] =  - 24
\end{array}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (−2;8) là

\(\begin{array}{l}
y - {y_o} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\\
 \Leftrightarrow y - 8 =  - 24\left( {x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow y =  - 24x - 40
\end{array}\)

c) Giả sử Δx là số gia đối số tại điểm x₀

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = \frac{{2(\Delta x + {x_0}) + 1}}{{\Delta x + {x_0} - 2}} - \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}}\\
 = \frac{{(2\Delta x + 2{x_0} + 1)({x_0} - 2) - (\Delta x + {x_0} - 2)(2{x_0} + 1)}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}\\
 = \frac{{ - 5\Delta x}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}
\end{array}\)

Suy ra 

\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\frac{{ - 5\Delta x}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}}}{{\Delta x}} = \frac{{ - 5}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}\)

\( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{ - 5}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}} \right] =  - \frac{5}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\)

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5 tương đương với

\(\begin{array}{l}
y'\left( {{x_0}} \right) =  - 5 \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} =  - 5\\
 \Rightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 7\\
{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} =  - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng −5 là y = −5x+2, y = −5x+22

-- Mod Toán 11 HỌC247