ON
YOMEDIA
VIDEO

Bài tập 5.6 trang 198 SBT Toán 11

Giải bài 5.6 tr 198 SBT Toán 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (−1;−2)

b) \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ x = −2

c) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5

YOMEDIA

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Tính đạo hàm của hàm số tại  bằng định nghĩa:

Giả sử  là số gia của đối số tại \({x_0} =  - 1\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1)\\
 = {( - 1 + \Delta x)^3} - 3{( - 1 + \Delta x)^2} + 2 - ( - 2)\\
 =  - 1 + 3\Delta x - 3{(\Delta x)^2} + {(\Delta x)^3} - 3[1 - 2\Delta x + {(\Delta x)^2}] + 4\\
 = {(\Delta x)^3} - 6{(\Delta x)^2} + 9\Delta x\\
 \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {(\Delta x)^2} - 6\Delta x + 9\\
 \Rightarrow y\prime ( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [{(\Delta x)^2} - \Delta x + 9] = 9
\end{array}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại  là

\({y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow y + 2 = 9\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 9x + 7}\)

b) Điểm có hoành độ bằng  thì có tung độ là 8

Giả sử  là số gia của đối số tại \({x_0} =  - 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = {( - 2 + \Delta x)^4} - 2{( - 2 + \Delta x)^2} - 8\\
 = 16 - 32\Delta x + 24{(\Delta x)^2} - 8{(\Delta x)^3} + {(\Delta x)^4} - 8 + 8\Delta x - 2{(\Delta x)^2} - 8\\
 = {(\Delta x)^4} - 8{(\Delta x)^3} + 22{(\Delta x)^2} - 24\Delta x\\
 \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {(\Delta x)^3} - 8{(\Delta x)^2} + 22\Delta x - 24\\
 \Rightarrow y\prime ( - 2) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [{(\Delta x)^3} - 8{(\Delta x)^2} + 22\Delta x - 24] =  - 24
\end{array}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 

\(\begin{array}{l}
y - {y_o} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\\
 \Leftrightarrow y - 8 =  - 24\left( {x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow y =  - 24x - 40
\end{array}\)

c) Giả sử  là số gia đối số tại điểm 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = \frac{{2(\Delta x + {x_0}) + 1}}{{\Delta x + {x_0} - 2}} - \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}}\\
 = \frac{{(2\Delta x + 2{x_0} + 1)({x_0} - 2) - (\Delta x + {x_0} - 2)(2{x_0} + 1)}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}\\
 = \frac{{ - 5\Delta x}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}
\end{array}\)

Suy ra 

\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\frac{{ - 5\Delta x}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}}}{{\Delta x}} = \frac{{ - 5}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}\)

\( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{ - 5}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}} \right] =  - \frac{5}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\)

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng  tương đương với

\(\begin{array}{l}
y'\left( {{x_0}} \right) =  - 5 \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} =  - 5\\
 \Rightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 7\\
{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} =  - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng  là 

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 5.6 trang 198 SBT Toán 11 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

 

YOMEDIA
1=>1