Bài tập 6 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11

Phương pháp:

Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\)

Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\)

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).

Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\)

Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x - {x_0}) + {y_0}.\)

Lời giải:

Lời giải chi tiết câu a, b, c bài 6 như sau:

\(\begin{array}{l} y = \frac{1}{x}\\ \Delta y = \frac{1}{{x + \Delta x}} - \frac{1}{x} = \frac{{x - (x + \Delta x)}}{{x\left( {x + \Delta x} \right)}} = - \frac{{\Delta x}}{{{x^2} + x.\Delta x}}\\ \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \frac{1}{{{x^2} + x.\Delta x}}\\ y'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \frac{1}{{{x^2}}} \end{array}\)

Câu a:

Tại \(x_0=\frac{1}{2}\Rightarrow y'(\frac{1}{2})=-4\)

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y=\frac{1}{x}\) tại điểm \(\left ( \frac{1}{2};2 \right )\) là:

\(y-2=-4(x-\frac{1}{2})\) hay \(y=-4x+4\)

Câu b:

Tại \(x_0=-1\Rightarrow y_0=y(-1)=-1\) và \(y'(-1)=-1\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y=\frac{1}{x}\) tại điểm có hoành độ -1 là:

\(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\)

Hay \(y+1=-1(x+1)\Leftrightarrow y=-x-2.\)

Câu c:

Do hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-\frac{1}{4}\), nên

\(-\frac{1}{x^2_0}=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow x_0=\pm 2.\)

Với \(x_0=2\Rightarrow y_0=\frac{1}{2}.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

\(y-y_0=-\frac{1}{4}(x-x_0)\) hay \(y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)\)

\(\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}x+1\)

Với \(x_0=-2\Rightarrow y_0=-\frac{1}{2}.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

\(y-y_0=-\frac{1}{4}(x-x_0)\) hay \(y+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x+2)\)

\(\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}x-1\).

-- Mod Toán 11 HỌC247