Bài tập 5.1 trang 198 SBT Toán 11

Lý thuyết10 Trắc nghiệm

33 BT SGK

125 FAQ

Giải bài 5.1 tr 198 SBT Toán 11

Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 3x - 5\)

b) \(y = 4{x^2} - 0,6x + 7\)

c) \(y = 4x - {x^2}\)

d) \(y = \sqrt {3x + 1} \)

e) \(y = \frac{1}{{x - 2}}\)

f) \(y = \frac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\)

Toán 11 Bài 1 Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1 Giải bài tập Toán 11 Bài 1

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Với   là số gia của đối số tại
Ta có \({\rm{\Delta }}y = 3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) - 5 - \left( {3{x_0} - 5} \right) = 3{\rm{\Delta }}x\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{3{\rm{\Delta }}x}}{{{\rm{\Delta }}x}} = 3\)
Vậy \(y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} 3 = 3 \Rightarrow y' = 3\)
b) Với  là số gia của đối số tại
Ta có
\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }}y = 4{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right)^2} - 0,6\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 7 - \left( {4x_0^2 - 0,6{x_0} + 7} \right)\\
= 8{x_0}{\rm{\Delta }}x + 4{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)^2} - 0,6{\rm{\Delta }}x
\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{8{x_0}{\rm{\Delta }}x + 4{{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2} - 0,6{\rm{\Delta }}x}}{{{\rm{\Delta }}x}} = 8{x_0} - 0,6 + 4{\rm{\Delta }}x\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( {8{x_0} - 0,6 + 4{\rm{\Delta }}x} \right) = 8{x_0} - 0,6 \Rightarrow y' = 8x - 0,6}\)
c) Với  là số gia của đối số tại
Ta có
\({{\rm{\Delta }}y = 4\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) - {{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right)}^2} - \left( {4{x_0} - x_0^2} \right) = 4{\rm{\Delta }}x - 2{x_0}{\rm{\Delta }}x - {{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2}}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{4{\rm{\Delta }}x - 2{x_0}{\rm{\Delta }}x - {{\left( {{\rm{\Delta }}x} \right)}^2}}}{{{\rm{\Delta }}x}} = 4 - 2{x_0} - {\rm{\Delta }}x\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( {4 - 2{x_0} - {\rm{\Delta }}x} \right) = 4 - 2{x_0} \Rightarrow y' = 4 - 2x}\)
d) Với  là số gia của đối số tại
Ta có
\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }}y = \sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} - \sqrt {3{x_0} + 1} \\
= \frac{{3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1 - 3{x_0} - 1}}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }} = \frac{{3{\rm{\Delta }}x}}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}
\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{\frac{{3{\rm{\Delta }}x}}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{3}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( {\frac{3}{{\sqrt {3\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) + 1} + \sqrt {3{x_0} + 1} }}} \right) = \frac{3}{{2\sqrt {3{x_0} + 1} }} \Rightarrow y' = \frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}}\)

e) Với là số gia của đối số tại

Ta có \({{\rm{\Delta }}y = \frac{1}{{{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2}} - \frac{1}{{{x_0} - 2}} = \frac{{\left( {{x_0} - 2} \right) - \left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)}}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}} = \frac{{ - {\rm{\Delta }}x}}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{\frac{{ - {\rm{\Delta }}x}}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}}}{{{\rm{\Delta }}x}} = - \frac{1}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}\)
Vậy \({y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \left( { - \frac{1}{{\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)}}} \right) = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}\)
f) \(y = \frac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = - \frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{\sqrt x - 1}} = - 1 - \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)
Với là số gia của đối số tại
Ta có
\(\begin{array}{l}
\Delta y = - 1 - \frac{2}{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1}} - \left( { - 1 - \frac{2}{{\sqrt {{x_0}} - 1}}} \right)\\
= \frac{2}{{\sqrt {{x_0}} - 1}} - \frac{2}{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1}}\\
= 2.\frac{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1 - \left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}\\
= 2.\frac{{\sqrt {{x_0} + \Delta x} - \sqrt {{x_0}} }}{{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}\\
= \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}
\end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}
\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = \frac{{\frac{{2{\rm{\Delta }}x}}{{\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} - 1} \right)}}}}{{{\rm{\Delta }}x}}\\
= \frac{2}{{\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} - 1} \right)}}
\end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l}
y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{2}{{\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} + \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt {{x_0} - 1} } \right)\left( {\sqrt {{x_0} + \Delta x} - 1} \right)}}} \right)\\
= \frac{2}{{2\sqrt {{x_0}} {{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt {{x_0}} {{\left( {\sqrt {{x_0}} - 1} \right)}^2}}}
\end{array}\)

\( \Rightarrow y' = \frac{1}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 5.1 trang 198 SBT Toán 11 HAY thì click chia sẻ

YOMEDIA