Bài tập 1.30 trang 38 SBT Toán 11

a) 1+sinx−cosx - sin2x+2cos2x = 0

⇔ (1−sin2x)+(sinx−cosx)+2cos2x = 0

⇔ (sinx−cosx)²+(sinx−cosx) + 2(cos²x-sin²x) = 0

⇔ (sinx−cosx)[sinx−cosx+1−2(cosx+sinx)] = 0

⇔ (sinx−cosx)(1−sinx−3cosx) = 0

 \(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x - \cos x = 0}\\
{1 - \sin x - 3\cos x = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x = \cos x}\\
{\sin x + 3\cos x = 1}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\tan x = 1{\rm{(1)}}}\\
{\frac{1}{{\sqrt {10} }}\sin x + \frac{3}{{\sqrt {10} }}\cos x = \frac{1}{{\sqrt {10} }}{\rm{(2)}}}
\end{array}} \right.\\
{\rm{(1)}} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z
\end{array}\)

Giải phương trình (2) ta đặt \[\frac{1}{{\sqrt {10} }} = \sin \alpha \) và \[\frac{3}{{\sqrt {10} }} = \cos \alpha \) ta được \[\cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\
 \Leftrightarrow x - \alpha  =  \pm \arccos \frac{1}{{\sqrt {10} }},k \in Z\\
 \Leftrightarrow x = \alpha  \pm \arccos \frac{1}{{\sqrt {10} }},k \in Z
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\) và \(x = \alpha  \pm \arccos \frac{1}{{\sqrt {10} }},k \in Z\).

b) ĐKXĐ: sinx ≠ 0

Ta có: \(\sin x - \frac{1}{{\sin x}} = {\sin ^2}x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow (\sin x - {\sin ^2}x) + \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{\sin x}}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \sin x(1 - \sin x) + \frac{{1 - \sin x}}{{{{\sin }^2}x}} = 0\\
 \Leftrightarrow (1 - \sin x)({\sin ^3}x + 1) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\sin x =  - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z\\
x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z
\end{array}\)

c) ĐKXĐ: cos3x ≠ 0

\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3},k \in Z\)

Ta có: cosxtan3x = sin5x

\( \Leftrightarrow \cos x\frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} = \sin 5x\)

⇔ cosxsin3x = sin5xcos3x

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x) = \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x)\)

⇔ sin8x = sin4x

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{8x = 4x + k2\pi ,k \in Z}\\
{8x = \pi  - 4x + k2\pi ,k \in Z}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\frac{\pi }{2},k \in Z}\\
{x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6},k \in Z}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được nghiệm của phương trình là x = kπ, k∈Z và \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6},k \in Z\).

d) ĐKXĐ: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0.

Ta có: 2tan²x+3tanx+2cot²x+3cotx+2 = 0

⇔ (2tan²x+2cot²x)+(3tanx+3cotx)+2 = 0

⇔ 2[(tanx+cotx)²−2tanxcotx]+3(tanx+cotx)+2=0

⇔2[(tanx+cotx)²−2]+3(tanx+cotx)+2 = 0

Đặt tanx+cotx = t ta được phương trình 2t²+3t−2 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t =  - 2}\\
{t = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\)

Với t = −2 ta có tanx+cotx = −2

⇒ tanx+1tanx = −2

⇒ tan2x+1 = −2tanx

⇒ tanx = −1

\( \Rightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\) (thỏa mãn)

Với \(t=\frac{1}{2}\)${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ta có \(\tan x + \cot x = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = \frac{1}{2}\)

⇒ 2tan²x+2 = tanx (Vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\).

-- Mod Toán 11 HỌC247