Bài tập 37 trang 46 SGK Toán 11 NC

a) Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi:

\(\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] =  \pm 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] =  \pm 1\\
 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right) = k\pi \\
 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\left( {3k + 1} \right)
\end{array}
\end{array}\)

Ta cần tìm k nguyên để 0 ≤ t ≤ 2

\(\begin{array}{l}
0 \le t \le 2 \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{2}\left( {3k + 1} \right) \le 2\\
 \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} \le k \le 1 \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}
\end{array}\)

Với k=  0 thì \(t = \frac{1}{2}\). Với k = 1 thì t = 2.

Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm \( \frac{1}{2}\) giây và 2 giây.

b)

Người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét khi:

\(3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] =  \pm 2\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] =  \pm 2\\
 \Leftrightarrow {\cos ^2}\left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \frac{4}{9}\\
 \Leftrightarrow 1 + \cos \left[ {\frac{{2\pi }}{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \frac{9}{8}\\
 \Leftrightarrow \cos \left[ {\frac{{2\pi }}{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] =  - \frac{1}{9}\\
 \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3}\left( {2t - 1} \right) =  \pm \alpha  + k2\pi \\
 \Leftrightarrow t =  \pm \frac{{3\alpha }}{{4\pi }} + \frac{1}{2} + \frac{{3k}}{2}
\end{array}\)

với \(\cos \alpha  =  - \frac{1}{9}\)

Ta tìm k nguyên để 0 ≤ t ≤ 2 

• Với \(t = \frac{{3\alpha }}{{4\pi }} + \frac{1}{2} + \frac{{3k}}{2}\), ta có:

\(0 \le t \le 2 \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} - \frac{\alpha }{{2\pi }} \le k \le 1 - \frac{\alpha }{{2\pi }}\)

Với \(\cos \alpha  =  - \frac{1}{9}\) ta chọn \(\alpha  \approx 1,682\)

Khi đó \( - 0,601 < k < 0,732\) suy ra k = 0 và \(t \approx 0,90\)

• Với \(t =  - \frac{{3\alpha }}{{4\pi }} + \frac{1}{2} + \frac{{3k}}{2}\), ta có:

\(0 \le t \le 2 \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} + \frac{\alpha }{{2\pi }} \le k \le 1 + \frac{\alpha }{{2\pi }}\)

Vì \(\alpha  \approx 1,682\) nên \( - 0,066 < k < 1,267\) suy ra \(k \in \left\{ {0;1} \right\}\)

Với k = 0, ta có \(t \approx 0,10\); với k = 1, ta có \(t \approx 1,60\)

Kết luận: Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là \(t \approx 0,10\) giây; \(t \approx 0,90\) giây và \(t \approx 1,60\) giây.

-- Mod Toán 11 HỌC247