Bài tập 31 trang 42 SGK Toán 11 NC

Ta có

\(\begin{array}{l}
5\sin 6t - 4\cos 6t\\
 = \sqrt {41} \left( {\frac{5}{{\sqrt {41} }}\sin 6t - \frac{4}{{\sqrt {41} }}\cos 6t} \right)\\
 = \sqrt {41} \sin \left( {6t - \alpha } \right)
\end{array}\)

trong đó số α được chọn sao cho \(\cos \alpha  = \frac{5}{{\sqrt {41} }}\) và \(\sin \alpha  = \frac{4}{{\sqrt {41} }}\). 

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được \(\alpha  \approx 0,675\).

a) Vật ở vị trí cân bằng khi d = 0, nghĩa là sin(6t–α) = 0

\( \Leftrightarrow t = \frac{\alpha }{6} + k\frac{\pi }{6},k \in Z\)

Ta cần tìm k nguyên dương sao cho 0 ≤ t ≤ 1

\(\begin{array}{l}
0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{\alpha }{6} + k\frac{\pi }{6} \le 1\\
 \Leftrightarrow  - \frac{\alpha }{\pi } \le k \le \frac{{6 - \alpha }}{\pi }
\end{array}\)

Với \(\alpha  \approx 0,675\), ta thu được −0,215 < k < 1,7 nghĩa là \(k \in \left\{ {0;1} \right\}\). Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là:

\(t \approx \frac{\alpha }{6} \approx 0,11\) (giây) và \(t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{6} \approx 0,64\) (giây)

b) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi |d| nhận giá trị lớn nhất.

Điều đó xảy ra nếu sin(6t–α) = ±1. Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {6t - \alpha } \right) =  \pm 1 \Leftrightarrow \cos \left( {6t - \alpha } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6}
\end{array}\)

Ta tìm k nguyên dương sao cho 0 ≤ t ≤ 1

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6} \le 1}\\
{ \Leftrightarrow  - \frac{\alpha }{\pi } - \frac{1}{2} \le k \le \frac{{6 - \alpha }}{\pi } - \frac{1}{2}}
\end{array}\)

Với \(\alpha  \approx 0,675\), ta thu được −0,715 < k < 1,2; nghĩa là k ∈ {0;1}.

Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là:

\(t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} \approx 0,37\) (giây)

và \(t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} + \frac{\pi }{6} \approx 0,90\) (giây)

-- Mod Toán 11 HỌC247