Bài tập 31 trang 42 SGK Toán 11 NC
Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm t giây được tính theo công thức h = |d| trong đó d = 5sin6t–4cos6t với d được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, d < 0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi:
a. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng?
b. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất?
(Tính chính xác đến \(\frac{1}{{100}}\) giây).
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có
\(\begin{array}{l}
5\sin 6t - 4\cos 6t\\
= \sqrt {41} \left( {\frac{5}{{\sqrt {41} }}\sin 6t - \frac{4}{{\sqrt {41} }}\cos 6t} \right)\\
= \sqrt {41} \sin \left( {6t - \alpha } \right)
\end{array}\)
trong đó số α được chọn sao cho \(\cos \alpha = \frac{5}{{\sqrt {41} }}\) và \(\sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt {41} }}\).
Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được \(\alpha \approx 0,675\).
a) Vật ở vị trí cân bằng khi d = 0, nghĩa là sin(6t–α) = 0
\( \Leftrightarrow t = \frac{\alpha }{6} + k\frac{\pi }{6},k \in Z\)
Ta cần tìm k nguyên dương sao cho 0 ≤ t ≤ 1
\(\begin{array}{l}
0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{\alpha }{6} + k\frac{\pi }{6} \le 1\\
\Leftrightarrow - \frac{\alpha }{\pi } \le k \le \frac{{6 - \alpha }}{\pi }
\end{array}\)
Với \(\alpha \approx 0,675\), ta thu được −0,215 < k < 1,7 nghĩa là \(k \in \left\{ {0;1} \right\}\). Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là:
\(t \approx \frac{\alpha }{6} \approx 0,11\) (giây) và \(t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{6} \approx 0,64\) (giây)
b) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi |d| nhận giá trị lớn nhất.
Điều đó xảy ra nếu sin(6t–α) = ±1. Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sin \left( {6t - \alpha } \right) = \pm 1 \Leftrightarrow \cos \left( {6t - \alpha } \right) = 0\\
\Leftrightarrow t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6}
\end{array}\)
Ta tìm k nguyên dương sao cho 0 ≤ t ≤ 1
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6} \le 1}\\
{ \Leftrightarrow - \frac{\alpha }{\pi } - \frac{1}{2} \le k \le \frac{{6 - \alpha }}{\pi } - \frac{1}{2}}
\end{array}\)
Với \(\alpha \approx 0,675\), ta thu được −0,715 < k < 1,2; nghĩa là k ∈ {0;1}.
Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là:
\(t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} \approx 0,37\) (giây)
và \(t = \frac{\alpha }{6} + \frac{\pi }{{12}} + \frac{\pi }{6} \approx 0,90\) (giây)
-- Mod Toán 11 HỌC247
-
Giải phương trình: \(2sin^2x+\sqrt{3}sin2x+2=0\)
bởi thuy tien
08/02/2017
Giải phương trình: \(2sin^2x+\sqrt{3}sin2x+2=0\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình \(cosx + cos3x = 2cos^2x\)
bởi Hoa Hong
07/02/2017
Giải phương trình \(cosx + cos3x = 2cos^2x\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình: \(sinx-4cosx+sin3x=0\)
bởi Tieu Dong
06/02/2017
Giải phương trình: \(sinx-4cosx+sin3x=0\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình \(3+\frac{sin5x}{sinx}+\frac{cos5x}{cosx}=2(sin^4x+cos^4x)\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình \(\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})sin2x+sin^2x-\sqrt{3}cos^2x+sinx+cosx=0\)
bởi Long lanh
07/02/2017
Giải phương trình \(\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})sin2x+sin^2x-\sqrt{3}cos^2x+sinx+cosx=0\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải các phương trình \((1+\sin 2x)(\cos x-\sin x)=1-2\sin ^{2}x\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình lượng giác sau: \(2cos^2\left ( \frac{\pi }{4}-2x \right )+\sqrt{3}cos4x=4cos^2x-1\)
bởi Mai Đào
07/02/2017
Giải phương trình lượng giác sau: \(2cos^2\left ( \frac{\pi }{4}-2x \right )+\sqrt{3}cos4x=4cos^2x-1\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình \((\sqrt{3-1})sinxcosx-(\sqrt{3+1})cos^2x=sinx-cosx-1\)
bởi Nguyễn Trung Thành
07/02/2017
Giải phương trình \((\sqrt{3-1})sinxcosx-(\sqrt{3+1})cos^2x=sinx-cosx-1\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình: \(sinx-\sqrt{3}cosx+2=4cos^2x\)
bởi thu trang
08/02/2017
Giải phương trình: \(sinx-\sqrt{3}cosx+2=4cos^2x\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình \(\frac{cosx}{1+sinx}=1-sinx\)
bởi Nguyễn Hạ Lan
07/02/2017
Giải phương trình \(\frac{cosx}{1+sinx}=1-sinx\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời