ON
YOMEDIA
VIDEO

Bài tập 32 trang 42 SGK Toán 11 NC

Bài tập 32 trang 42 SGK Toán 11 NC

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a. asinx+bcosx (a và b là hằng số, a2+b2 ≠ 0) ;

b.  sin2x+sinxcosx+3cos2x;

c. Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x (A, B và C là hằng số).

YOMEDIA

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a\sin x + b\cos x\\
 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \alpha  + \sin \alpha \cos x} \right)\\
 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)
\end{array}
\end{array}\)

(trong đó \(\sin \alpha  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\cos \alpha  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)) 

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của asinx+bcosxx lần lượt là:

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

b) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\\
 = \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2}
\end{array}\\
{ = \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2}
\end{array}\)

Ta có \(\left| {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right| \le \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của sin2x+sinxcosx+3cos2x lần lượt là:  

\(\frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2, - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\)

c) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{A{{\sin }^2}x + B\sin x\cos x + C{{\cos }^2}x}\\
{ = A.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{B}{2}.\sin 2x + C.\frac{{1 + \cos 2x}}{2}}\\
\begin{array}{l}
 = \frac{B}{2}.\sin 2x + \frac{{C - A}}{2}.\cos 2x + \frac{{C + A}}{2}\\
 = a\sin 2x + b\cos 2x + c
\end{array}
\end{array}\)

trong đó \(a = \frac{B}{2},b = \frac{{C - A}}{2},c = \frac{{C + A}}{2}\)

Vậy Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x đạt giá trị lớn nhất là:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + c = \sqrt {\frac{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}}}{4}}  + \frac{{C + A}}{2}\\
 = \frac{1}{2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)}  + \frac{{C + A}}{2}
\end{array}\)

và giá trị nhỏ nhất là \( - \frac{1}{2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}}  + \frac{{C + A}}{2}\).

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 32 trang 42 SGK Toán 11 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

 

YOMEDIA
1=>1