Bài tập 32 trang 42 SGK Toán 11 NC

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a\sin x + b\cos x\\
 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \alpha  + \sin \alpha \cos x} \right)\\
 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)
\end{array}
\end{array}\)

(trong đó \(\sin \alpha  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\cos \alpha  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)) 

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của asinx+bcosxx lần lượt là:

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

b) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\\
 = \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2}
\end{array}\\
{ = \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2}
\end{array}\)

Ta có \(\left| {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right| \le \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của sin2x+sinxcosx+3cos2x lần lượt là:  

\(\frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2, - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\)

c) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{A{{\sin }^2}x + B\sin x\cos x + C{{\cos }^2}x}\\
{ = A.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{B}{2}.\sin 2x + C.\frac{{1 + \cos 2x}}{2}}\\
\begin{array}{l}
 = \frac{B}{2}.\sin 2x + \frac{{C - A}}{2}.\cos 2x + \frac{{C + A}}{2}\\
 = a\sin 2x + b\cos 2x + c
\end{array}
\end{array}\)

trong đó \(a = \frac{B}{2},b = \frac{{C - A}}{2},c = \frac{{C + A}}{2}\)

Vậy Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x đạt giá trị lớn nhất là:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + c = \sqrt {\frac{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}}}{4}}  + \frac{{C + A}}{2}\\
 = \frac{1}{2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)}  + \frac{{C + A}}{2}
\end{array}\)

và giá trị nhỏ nhất là \( - \frac{1}{2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}}  + \frac{{C + A}}{2}\).

-- Mod Toán 11 HỌC247