ADMICRO

Bài tập 3.6 trang 130 SBT Hình học 11

Giải bài 3.6 tr 130 SBT Hình học 11

Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành A1B1C1D1. Về một phía đối với mặt phẳng (α) ta dựng hình bình hành A2B2C2D2. Trên các đoạn A1A2, B1B2, C1C2, D1D2 ta lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho

\(\frac{{A{A_1}}}{{A{A_2}}} = \frac{{B{B_1}}}{{B{B_2}}} = \frac{{C{C_1}}}{{C{C_2}}} = \frac{{D{D_1}}}{{D{D_2}}} = 3\)

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Lấy điểm O cố định rồi đặt \(\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{b_1}} ,\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{c_1}} ,\overrightarrow {O{D_1}}  = \overrightarrow {{d_1}} \)
Điều kiện cần và đủ để tứ giác A1B1C1D1 là hình bình hành là:
\(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} \) (theo bài 3.2) (1)
Đặt \(\overrightarrow {O{A_2}}  = \overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {O{B_2}}  = \overrightarrow {{b_2}} ,\overrightarrow {O{C_2}}  = \overrightarrow {{c_2}} ,\overrightarrow {O{D_2}}  = \overrightarrow {{d_2}} \)
Điều kiện cần và đủ để tứ giác A2B2C2D2 là hình bình hành là:
\(\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}} \,\,\,\left( 2 \right)\)
Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow c ,\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow d \)
Ta có \(\frac{{A{A_1}}}{{A{A_2}}} = 3 \Rightarrow \overrightarrow {A{A_1}}  =  - 3\overrightarrow {A{A_2}} \)
\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OA}  =  - 3\left( {\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OA} } \right)\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {{a_1}}  - \overrightarrow a  =  - 3\left( {\overrightarrow {{a_2}}  - \overrightarrow a } \right)\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow a  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right)
\end{array}\)
Tương tự: \(\overrightarrow b  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{b_1}}  + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right),\overrightarrow c  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right),\overrightarrow d  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow c  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right) + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}} } \right) + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}} } \right)\)
Và \(\overrightarrow b  + \overrightarrow d  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{b_1}}  + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right) + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{d_1}}  + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} } \right) + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}} } \right)\)
Từ (1) và (2) ta có \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} \) và \(\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}}\) nên suy ra \(\overrightarrow a  + \overrightarrow c  = \overrightarrow b  + \overrightarrow d  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} \) \( \Leftrightarrow \) tứ giác ABCD là hình bình hành.

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 3.6 trang 130 SBT Hình học 11 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)