Bài tập 3.4 trang 130 SBT Hình học 11

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP . Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MG'} \\
\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {NG'} \\
\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CP}  + \overrightarrow {PG'} 
\end{array}\)

Cộng từng vế với vế ta có:

\(3\overrightarrow {GG'}  = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG'}  + \overrightarrow {NG'}  + \overrightarrow {PG'} } \right)\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC và G' là trọng tâm của tam giác MNP nên 

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 ;\,\,\overrightarrow {MG'}  + \overrightarrow {NG'}  + \overrightarrow {PG'}  = \overrightarrow 0 \)

Do đó: \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP} \)

Hay \(\overrightarrow {GG'}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)

Vì điểm G cố định và \(\frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \) là vectơ không đổi nên G' là điểm cố định. Vậy mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua điểm G' cố định.

-- Mod Toán 11 HỌC247