Bài tập 10 trang 81 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Từ dữ kiện đề bài, ta chọn một đỉnh bất kì của hình lập phương là gốc tọa độ. Khi đó, 3 cạnh của hình lập phương đi qua đỉnh đó chính là phương của các trục Ox, Oy, Oz.

Sau khi xây dựng xong hệ trục tọa độ, ta xác định tọa độ các đỉnh lúc này và tiến hành giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong không gian.

Giải sử, mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) thì khoảng cách từ (P) đến (Q) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc (P) đến mặt phẳng (Q).

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết bài 10 như sau:

Xây dựng hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có tọa độ các đỉnh của hình lập phương là:

A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;0;1).

A'(0;0;1), B'(1;0;1),  C'(1;1;1), D'(0;1;1).

Câu a:

Đặt \((\alpha )=(A'B'D')\) và \((\beta )=(BCD)\).

Ta có: \(\overrightarrow{AB'}=(1;0;1); \overrightarrow{AD'}=(0;1;1)\) 

Suy ra mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{AB'},\overrightarrow{AD'} \right ]=(1;1;-1)\)

Vậy phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là \(x+y-z=0\).

Ta có \(\overrightarrow{BC'}=(0;1;1)\)và \(\overrightarrow{BD}=(-1;1;0)\)

Suy ra mặt phẳng \((\beta )\) có vecto pháp tuyến là \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{BC'}, \overrightarrow{BD} \right ]=(-1;-1;1)\)

Phương trình mp \((\beta )\) là:

\(-1(x-1) -1.y+1.z=0\Leftrightarrow x+y-z-1=0\).

Ta có:

\(\frac{1}{1}=\frac{1}{1}=\frac{-1}{-1}\neq \frac{0}{-1}\), vậy hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song nhau.

Câu b:

Do mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song nhau nên:

\(d((\alpha ),(\beta ))=d(A,(\beta ))=\frac{\left | -1 \right |}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}= \frac{1}{\sqrt{3}}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Video hướng dẫn giải bài 10 SGK