YOMEDIA

Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải bài 2 tr 82 sách GK Toán ĐS & GT lớp 11

Chứng minh rằng với n ε  N*    ta luôn có:

a) \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3;

b) \(4n + 15n - 1\) chia hết cho 9;

c) \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Câu a:

Đặt An = n3 + 3n2 + 5n

Khi n = 1 ta có \(A_1=9\vdots 3\)

Giả sử n = k ≥ 1, ta có Ak = (k3 + 3k2 + 5k)  3 (1) (giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là: Ak+1  3 (2)

Thật vậy, ta có: Ak+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) 

                         = (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

 hay Ak+1 = Ak + 3(k2 + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp (1) và mặt khác 3(k2 + 3k + 3)  3 Ta có: Ak+1  3.

Vậy (2) đúng, từ đó ⇒ (đpcm).

Câu b:

Đặt Bn = 4n + 15n - 1 

Giả sử n = 1, ta có B1   9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì Bk= (4k + 15k - 1)   9. (1)

Ta phải chứng minh Bk+1  9.

Thật vậy, ta có: Bk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1

                                    = 4.4k + 15k – 14 (3)

Từ (1) ta có \(4^k+15k-1=9 \l (\l\in \mathbb{N}^*)\Leftrightarrow 4^k=9 \l-15k+1\)

Thế vào (3) ta có: 

Bk+1 = 4(9l -15k +1) +15k +14 = (36l - 45k +18)  9

Vậy (2) đúng, ta có C1 = 12   6.

Câu c:

Đặt Cn = n3 + 11n

Khi n = 1, ta có C1 = 12  6

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có C= (k3 + 11k)  6  (1)

Ta phải chứng minh Ck+1  6  (2)

Thật vậy, ta có Ck+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1)           

                    = ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4)

= [Ck +3k(k+1) +12]  6 (do k(k+1)   2)

Vậy (2) đúng, từ đó ⇒ (đpcm)

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11 HAY thì click chia sẻ 

 

YOMEDIA