Bài tập 3.3 trang 107 SBT Toán 11

a) Đặt B_n = 2n³ − 3n² + n

Ta có B1 = 2.1³ - 3.1²+1 = 0 chia hết cho 6.

Giả sử đã có B_k = 2k³ − 3k² + k chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh B_k+1 = 2(k+1)³ − 3(k+1)² + k + 1 chia hết cho 6.

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}
{B_{k + 1}} = 2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k\\
 = 2\left( {{k^3} + 3{k^2} + 3k + 1} \right) - 3\left( {{k^2} + 2k + 1} \right) + k + 1\\
 = 2{k^3} + 3{k^2} + k = 2{k^3} - 3{k^2} + k + 6{k^2} = {B_k} + 6{k^2} \vdots 6
\end{array}\)

b) Đặt A_n = 11ⁿ⁺¹ + 12²ⁿ⁻¹. Dễ thấy A₁ = 133 chia hết cho 133.

Giả sử A_k = 11^k+1 + 12^2k−1 đã có chia hết cho 133.

Ta có:

A_k+1 = 11^k+2 + 12^2k+1

= 11. 11^k+1 + 12^2k−1.12²

= 11. 11^k+1 + 12^2k−1(11 + 133)

= 11.A_k + 133. 12^2k−1

Vì A_k chia hết 133 nên A_k+1 chia hết 133.

-- Mod Toán 11 HỌC247