Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC

• Với n = 2 ta có \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 2

• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}\)

• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}\)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right)\\
.\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \frac{{k + 1}}{{2k}}\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 = \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{{k^2} + 2k}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{{k + 1}}{{2k}}.\frac{{k\left( {k + 2} \right)}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}
\end{array}
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n ≥ 2.

-- Mod Toán 11 HỌC247