Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC

• Với n = 2 ta có \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{12}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Như vậy (1) đúng khi n = 2

• Giả sử (1) đúng khi n = k, k > 2, tức là giả sử:

\(\frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}\)

• Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

\(\frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} - \frac{1}{{k + 1}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)}}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\\
 = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\\
 > \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}
\end{array}\)

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n > 1.

-- Mod Toán 11 HỌC247