Bài tập 3.1 trang 107 SBT Toán 11

a) Đặt vế trái bằng S_n. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có \({S_k} = \frac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2}\) với k ≥ 1.

Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\)

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}
{S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1 = \frac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2} + 3k + 2\\
 = \frac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\\
 = \frac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}
\end{array}\)

b) Đặt vế trái bằng Sn. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có \({S_k} = \frac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right)\) với k ≥ 1.

Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)\)

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}
{S_{k + 1}} = {S_k} + {3^{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) + {3^{k + 1}}\\
 = \frac{{{3^{k + 1}} - 3 + {{2.3}^{k + 1}}}}{2}\\
 = \frac{{{{3.3}^{k + 1}} - 3}}{2} = \frac{{{3^{k + 2}} - 3}}{2} = \frac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)
\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247