Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh rằng với \(n \in N*\), ta có đẳng thức:

a)  \(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}\);

b) \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\);

c)  \(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\).

Chứng minh rằng với n ε  N^*    ta luôn có:

a) \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3;

b) \(4n + 15n - 1\) chia hết cho 9;

c) \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \geq 2\), ta có các bất đẳng thức:

a) \(3^n > 3^n + 1\)                  

b) \(2^{n + 1} > 2n + 3\)

Cho tổng \(S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\)với n ε  N^{*  .}

a) Tính \(S_1, S_2, S_3\)_.

b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là  \(\frac{n(n-3)}{2}\)

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N^∗)

a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\)

b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \frac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\)

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N^∗)

a) Chứng minh \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \frac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\)

b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N^∗ ta có:

a) 2n³ − 3n² + n chia hết cho 6.

b) 11^{n + 1} + 12²ⁿ⁻¹ chia hết cho 133.

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N∗)

a) 2^{n + 2} > 2n + 5;

b) sin²ⁿα + cos²ⁿα ≤ 1.

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

a) 2ⁿ > 2n + 1 ;

b) 2ⁿ > n² + 4n + 5 ;

c) 3ⁿ > 2ⁿ + 7n ?

Cho tổng:

\({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\)

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄;

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Xét mệnh đề chứa biến P(n): "10^{n - 1} < n + 2017 với n ∈ N∗"

Bằng phép thử ta có P(1), P(2), P(3), P(4) là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. P(n) đúng với mọi số chẵn n ≤ 4            

B. P(n) đúng với mọi số lẻ n < 4

C. P(n) đúng với mọi số n            

D. P(n) đúng với mọi số n ≤ 4

Đặt \({S_n} = \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \). Giả sử hệ thức \({S_n} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\) là đúng với n = k ≥ 1. Để chứng minh hệ thức trên cũng đúng với n = k + 1, ta phải chứng minh S_{k + 1} bằng:

A. \(\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{k + 1}\) 

B. \(2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}\)

C. \(2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\)

D. \(\sqrt {2 + {S_k}} \)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :

\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)   (1)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau :

\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n \)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau:

\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)

Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Với mỗi số nguyên dương n, đặt u_n  = 7.2²ⁿ⁻²+3²ⁿ⁻¹   (1) .

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có u_n chia hết cho 5.

Cho số thực x > −1. Chứng minh rằng:

(1+x)ⁿ ≥ 1+nx   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Một học sinh chứng minh mệnh đề "Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu 8^k+1 chia hết cho 7 thì 8^k+1+1 cũng chia hết cho 7" như sau:

Ta có: 8^k+1+1 = 8(8^k+1)−7. Từ đây và giả thiết "8^k+1 chia hết cho 7", hiển nhiên suy ra 8^k+1+1 chia hết cho 7.

Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được "8ⁿ+1 chia hết cho 7 với mọi n ∈ N^∗" hay không ? Vì sao ?