Giải bài 4 tr 82 sách GK Toán ĐS & GT lớp 11
Cho tổng \(S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\)với n ε N* .
a) Tính \(S_1, S_2, S_3\).
b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 4
Câu a:
Ta có: \(S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\)
\(S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}\)
\(S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}\)
Câu b:
Từ câu a) ta dự đoán \(S_n=\frac{n}{n+1} (1)\), với mọi n ε N* .
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp
Theo a) ta thấy (1) đúng khi n = 1, n=2,n=3.
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là
\(S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\) (2)
Ta phải chứng minh (1) đúng đến khi n = k + 1, tức là
\(S_k+1=\frac{k+1}{k+2}\) (3)
Thật vậy ta có:
\(S_{k+1}=\left [ \frac{1}{1.2}+ \frac{1}{2.3}+...+ \frac{1}{k.(k+1)} \right ]+ \frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
\(=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}\)
\(=\frac{k+1}{k+2}\)
⇒ (3) đúng ⇒ (đpcm)
-- Mod Toán 11 HỌC247
-
Chứng minh 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2
bởi Trịnh Lan Trinh
25/03/2019
Chuyên mục: Toán không hay mà vẫn có thưởng!!!
1) Cho \(x;y\in R\) .Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(M=\left|x+1\right|+2\left|x-5\right|+\left|2x-7\right|+\left|\dfrac{x-11}{2}\right|\)
2) Tính: \(1^3+2^3+...+n^3\)
3) Cho tam giác ABC,đường cao AH. Trên 1 nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC lấy 2 điểm D và E sao cho
\(BD\perp BA;BD=BA\) và \(CE\perp CA;CE=CA\).Gọi t là giaio điểm BE và CD. Chứng minh A;T;H thẳng hàng
Theo dõi (0) 1 Trả lời
