Giải bài 4 tr 82 sách GK Toán ĐS & GT lớp 11
Cho tổng \(S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\)với n ε N* .
a) Tính \(S_1, S_2, S_3\).
b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 4
Câu a:
Ta có: \(S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\)
\(S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}\)
\(S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}\)
Câu b:
Từ câu a) ta dự đoán \(S_n=\frac{n}{n+1} (1)\), với mọi n ε N* .
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp
Theo a) ta thấy (1) đúng khi n = 1, n=2,n=3.
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là
\(S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\) (2)
Ta phải chứng minh (1) đúng đến khi n = k + 1, tức là
\(S_k+1=\frac{k+1}{k+2}\) (3)
Thật vậy ta có:
\(S_{k+1}=\left [ \frac{1}{1.2}+ \frac{1}{2.3}+...+ \frac{1}{k.(k+1)} \right ]+ \frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
\(=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}\)
\(=\frac{k+1}{k+2}\)
⇒ (3) đúng ⇒ (đpcm)
-- Mod Toán 11 HỌC247
-
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n > p (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
bởi Nguyễn Thanh Trà
29/05/2020
- Bước 1, kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p
- Bước 2, giả thiết mệnh đề A(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ n > p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1
Trong hai bước trên:
A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng.
C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n > p ( là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
bởi Trần Bảo Việt
29/05/2020
A. k > p B. k chia hết cho π
C. k = p D. k < p
Theo dõi (0) 1 Trả lời