Bài tập 3.2 trang 107 SBT Toán 11

a) Đặt vế trái bằng S_n

Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1

Giả sử đã có \({S_k} = \frac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3}\) với k ≥ 1. Ta phải chứng minh

\({S_{k + 1}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\)

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}
{S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]^2} = {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2}\\
 = \frac{{4\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 1} \right)^2}\\
 = \frac{{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k - 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]}}{3}\\
 = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)}}{3}\\
 = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3}\\
\frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}
\end{array}\)

b) Đặt vế trái bằng A_n

Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có \({A_k} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4},\left( {k \ge 1} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3}\\
 = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3}\\
 = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4}\\
 = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}
\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247