Bài tập 3 trang 100 SGK Toán 11 NC

• Với n = 1 ta có \(1 < 2\sqrt 1 \).

Vậy (1) đúng với n = 1

• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} < 2\sqrt k \)

• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh: 

\(\begin{array}{l}
1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\\
 < 2\sqrt {k + 1} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)
\end{array}\)

Theo giả thiết qui nạp ta có:

\(\begin{array}{l}
1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\\
 < 2\sqrt k  + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}
\end{array}\)

Để chứng minh (*) ta cần chứng minh

\(2\sqrt k  + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \)

Thật vậy ta có :

\(\begin{array}{l}
2\sqrt k  + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \\
 \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)}  + 1 < 2\left( {k + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)}  < 2k + 1\\
 \Leftrightarrow 4k\left( {k + 1} \right) < {\left( {2k + 1} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 0 < 1\) (luôn đúng)

Vậy ta có (*) luôn đúng tức (1) đúng với n = k+1, do đó (1) đúng.

-- Mod Toán 11 HỌC247