YOMEDIA
NONE

Tìm min của sigma 1/căn(a^2+b^2)

cho a,b,c ko âm thỏa ab+bc+ca=1 .tìm Min \(\sum\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Bữa trước ko để ý a,b,c ko âm với ngược dấu sai thê thảm =))

    Dự đoán \(a=b=1\)\(c=0\) thì tính được \(2+\frac{1}{\sqrt2}\)

    Ta sẽ chứng minh nó là GTNN.Thật vậy cần chứng minh

    \(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2}}+\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{b^2+c^2}}+\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+c^2}}\ge2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

    Khôn mất tính tổng quá giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\). Khi đó:

    \(\dfrac{ab+ac+bc}{a^2+b^2}-\dfrac{(a+c)(b+c)}{(a+c)^2+(b+c)^2}=\dfrac{c(a+b+2c)(2ab+ac+bc)}{a^2+b^2)((a+c)^2+(b+c)^2}\ge0\)

    Tương tự cũng có:

    \(\dfrac{ab+ac+bc}{a^2+c^2}-\dfrac{b+c}{a+c}=\dfrac{c(2ab+ac-c^2)}{(a+c)(a^2+c^2)}\ge0\)

    \(\dfrac{ab+ac+bc}{b^2+c^2}-\dfrac{a+c}{b+c}=\dfrac{c(2ab+bc-c^2)}{(b+c)(b^2+c^2)}\ge0\)

    Đặt \(\dfrac{a+c}{b+c}=x^2;\dfrac{b+c}{a+c}=y^2\left(x,y>0\right)\)\(\Rightarrow xy=1\) và ta có:

    \(x+y+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\ge2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

    \(\Leftrightarrow x+y-2\sqrt{xy}\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

    \(\Leftrightarrow(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge\dfrac{(x-y)^2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2})}\)

    \(\Leftrightarrow\sqrt{2(x^2+y^2)}(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2})\ge(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\)

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

    \(\sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt{(1^2+1^2)(x^2+y^2)}\ge x+y\)

    \(=\dfrac{1}{2}(1^2+1^2)((\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2)\ge\dfrac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\)

    Vậy cần chứng minh \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2}\ge2\)

    Đúng theo AM-GM:\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2}\ge\sqrt{2xy}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}>2\)

      bởi Nguyen Ngoc 05/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON