YOMEDIA
NONE

Giải hệ phương trình sau: \(\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x}+\frac{32}{(2\sqrt{y-3}+3)^{2}}=5

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Giải hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x}+\frac{32}{(2\sqrt{y-3}+3)^{2}}=5\\ \sqrt{\sqrt{x}(2\sqrt{x}+\sqrt{y-3}+1)}+\sqrt{(\sqrt{y-3}+1)(\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2)}=\sqrt{6(x+(\sqrt{y-3}+1)^{2})} \end{matrix}\right.\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 3 \end{matrix}\right.\)

    Ta có phương trình thứ 2 của hệ:

    \(\sqrt{\sqrt{x}(2\sqrt{x}+\sqrt{y-3}+1)}+\sqrt{(\sqrt{y-3}+1)(\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2)}=\sqrt{6(x+(\sqrt{y-3}+1)^{2})}\; \; \, (*)\)

    Đặt: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=a\\ \sqrt{y-3}+1=b \end{matrix}\right..\) Phương trình thứ 2 của hệ trở thành:

    \(\sqrt{a(2a+b)}+\sqrt{b(a+2b)}=\sqrt{6(a^{2}+b^{2})}\; \; (*)\)

    Ta có: \(VT_{(*)}\overset{BCS}{\leq }\sqrt{(a+b)(2a+b+2b+a)}=\sqrt{3}(a+b)\leq \sqrt{6(a^{2}+b^{2})}=VP_{(*)}\)

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(a=b\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y-3}+1\Leftrightarrow \sqrt{x}-\sqrt{y-3}=1\)

    Thế vào phương trình đầu của hệ ta có:

    \(2\sqrt{x}+\frac{32}{1.(2\sqrt{y-3}+3)^{2}}=5\) \(\Leftrightarrow 2\sqrt{x}+\frac{32}{(\sqrt{x}-\sqrt{y-3})(2\sqrt{y-3}+3)^{2}}=5\; \; (**)\)

    Mặt khác theo AM - GM ta có:

    \(2(\sqrt{x}-\sqrt{y-3})+\frac{2\sqrt{y-3}+3}{2}+\frac{2\sqrt{y-3}+3}{2}+\) \(\frac{32}{(\sqrt{x}-\sqrt{y-3})(2\sqrt{y-3}+3)^{2}}\overset{AM-GM}{\geq} 8\)

    \(\Leftrightarrow \sqrt{x}+\frac{32}{(\sqrt{x}-\sqrt{y-3})(2\sqrt{y-3}+3)^{2}}\geq 5\Rightarrow VT_{(**)}\geq VP_{(**)}.\)

    Và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

    \(2(\sqrt{x}-\sqrt{y-3})=\frac{2\sqrt{y-3}+3}{2}=\frac{32}{2(\sqrt{x}-\sqrt{y-3})(2\sqrt{y-3}+3)^{2}}\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{3}{2}\\ \sqrt{y-3}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)

    \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{9}{4}\\ y=\frac{13}{4} \end{matrix}\right.\)

    Vậy nghiệm của hệ là \((x;y)=\left ( \frac{9}{4};\frac{13}{4} \right )\)

      bởi Long lanh 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF