YOMEDIA
NONE
Trang chủ Toán 9

Bài tập 95 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1

Lý thuyết5 Trắc nghiệm

11 BT SGK

365 FAQ

Giải bài 95 tr 21 sách BT Toán lớp 9 Tập 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng minh:

a) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.

b) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất.

ATNETWORK

Hướng dẫn giải chi tiết

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng đẳng thức Cô - si với ba số không âm \(a, b, c\).

\(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b = c\)

Lời giải chi tiết

Gọi a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

Ta có: \(a > 0,b > 0,c > 0\) suy ra: \(\sqrt a  > 0,\sqrt b  > 0,\sqrt c  > 0\)

Đặt \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \)

Ta có: 

\(\eqalign{
& x + y + z > 0,{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0, \cr
& {\left( {y - z} \right)^2} \ge 0,{\left( {z - x} \right)^2} \ge 0 \cr} \)

Suy ra: \(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {1 \over 2}(x + y + z)\left[ {({x^2} - 2xy + {y^2})({y^2} - 2yz + {z^2})({z^2} - 2zx + {x^2})} \right] \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {1 \over 2}(x + y + z)(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\)

           \( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\)

           \( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2} \ge 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr
& \Leftrightarrow {{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz \cr} \)

Thay \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \), ta có:

\(\eqalign{
& {{{{(\root 3 \of a )}^3} + {{(\root 3 \of b )}^3} + {{(\root 3 \of c )}^3}} \over 3} \ge \root 3 \of a .\root 3 \of b .\root 3 \of c \cr
& \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr} \)

Các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thích thì \({{a + b + c} \over 3}\) không đổi.

Vì \({{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \) và \({{a + b + c} \over 3}\) không đổi nên \(\root 3 \of {abc} \) \(\root 3 \of {abc} \) đạt giá trị lớn nhất \({{a + b + c} \over 3}\) khi a = b = c.

Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất.

-- Mod Toán 9 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 95 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Bài tập SGK khác

Bài tập 93 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 94 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON