AMBIENT

Tìm GTNN của p=2|z+1|+2|z-1|+|z-z ngang-4i|, biết |z| < = 2

bởi Duy Quang 27/09/2018

Câu 1: Cho số phức z thỏa \(\left|z\right|\le2\) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(p=2\left|z+1\right|+2\left|z-1\right|+\left|z-\overline{z}-4i\right|\)bằng bao nhiêu.

ADSENSE

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    Đặt \(z=a+bi\). Ta có: \(|z|\leq 2\Leftrightarrow a^2+b^2\leq 4\)

    Có:

    \(p=2|z+1|+2|z-1|+|z-\overline{z}-4i|\)

    \(=2|(a+1)+bi|+2|(a-1)+bi|+|(a+bi)-(a-bi)-4i|\)

    \(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+2\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{(2b-4)^2}\)

    \(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}+4-2b\)

    (do \(a^2+b^2\leq 4\Rightarrow b^2\leq 4\Rightarrow b\leq 2\Rightarrow \sqrt{(2b-4)^2}=4-2b\) )

    \(\Leftrightarrow p=2[\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}-b+2]\)

    Theo BĐT Mincopxky :

    \(p\geq 2(\sqrt{(a+1+1-a)^2+(b+b)^2}-b+2)\)

    \(\Leftrightarrow p\geq 2(2\sqrt{b^2+1}-b+2)\)

    Xét \(f(b)=2\sqrt{b^2+1}-b+2\) với \(b\in [-2;2]\)

    Có: \(f'(b)=\frac{2b}{\sqrt{b^2+1}}-1=0\Leftrightarrow b=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)

    Lập bảng biến thiên ta suy ra \(f(b)_{\min}=f(\frac{\sqrt{3}}{3})=2+\sqrt{3}\)

    \(\Rightarrow p\geq 2f(b)\geq 2(2+\sqrt{3})\)

    Vậy \(p_{\min}=4+2\sqrt{3}\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(b=\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{a+1}{1-a}=\frac{b}{b}=1\Rightarrow a=0\)

    bởi Tuyết Như 27/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

AMBIENT
?>