Giải bài tập Hình học 10 Chương 1 Bài 4 Hệ trục tọa độ

Trên trục (O, ) cho các điểm A, B, M có tọa độ lần lượt là \(-1, 2, 3, -2\) .

a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;

b) Tính độ dài đại số của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{MN}\). Từ đó suy ra hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{MN}\) ngược hướng.

Trong mặt phẳng tọa độ các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) \(\overrightarrow{a}= ( -3; 0)\)  và \(\overrightarrow{i}= (1; 0)\) là hai vectơ ngược hướng;

b) \(\overrightarrow{a}= ( 3; 4)\)  và \(\overrightarrow{i}= (-3; -4)\) là hai vectơ đối nhau;

c) \(\overrightarrow{a}= ( 5; 3)\)  và \(\overrightarrow{i}= (3; 5)\) là hai vectơ đối nhau;

d) hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau

Tìm tọa độ của các vec tơ sau:

a) \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{j}\)                                  b) \(\overrightarrow{b}= -3\) 

c)  \(\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{i} - 4\)                  d) \(\overrightarrow{d}= 0,2\) \(\overrightarrow{i} + \sqrt{3}\overrightarrow{j}\)

Trong mặt phẳng Oxy. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tọa độ của điểm A là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{OA}\);

b) Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0;

c) Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0;

d) Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Trong các mặt phẳng Oxy cho điểm (x₀; y₀)

a) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với M qua trục Ox;

b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với M qua trục Oy;

c) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với M qua gốc O.

Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3;2), C(4;-1). Tìm tọa độ điểm D.

Các điểm A'(-4; 1), B'(2;4), C(2, -2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau.

Cho \(\overrightarrow{a}= (2; -2),\overrightarrow{b}= (1; 4)\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{c} = (5; 0)\) theo hai vectơ  và 

Viết tọa độ của các vec tơ sau:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j \\
\overrightarrow b  = \frac{1}{3}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j \\
\overrightarrow c  = 3\overrightarrow i \\
\overrightarrow d  =  - 2\overrightarrow j 
\end{array}\)

Viết vec tơ \(\overrightarrow u\) dưới dạng \(\overrightarrow u  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \) khi biết tọa độ của \(\overrightarrow u\) là: (2;−3), (−1;4), (2;0), (0;−1), (0;0).

Cho \(\overrightarrow a  = \left( { - 1;2} \right),\overrightarrow b  = \left( {0;3} \right)\). Tìm tọa độ của các vec tơ \(\overrightarrow x  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow y  = \overrightarrow a  - \overrightarrow b ,\overrightarrow z  = 3\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b \)

Xét xem các cặp vec tơ sau có cùng phương không? Trong trường hợp cùng phương thì xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng.

a) \(\overrightarrow a  = \left( {2;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 10; - 15} \right)\)

b) \(\overrightarrow u  = \left( {0;7} \right),\overrightarrow v  = \left( {0;8} \right)\)

c) \(\overrightarrow m  = \left( { - 2;1} \right),\overrightarrow n  = \left( { - 6;3} \right)\)

d) \(\overrightarrow c  = \left( {3;4} \right),\overrightarrow d  = \left( {6;9} \right)\)

e) \(\overrightarrow e  = \left( {0;5} \right),\overrightarrow f  = \left( {3;0} \right)\)

a) Cho A(−1;8), B(1;6), C(3;4). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Cho A(1;1), B(3;2), C(m+4;2m+1). Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Cho bốn điểm A(−2;−3), B(3;7), C(0;3), D(−4;−5). Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD song song với nhau.

Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;1), N(2;3), P(0;−4) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác.

Cho hình bình hành ABCD. Biết A(2;−3), B(4;5), C(0;−1). Tính tọa độ của đỉnh D

Cho tam giác ABC có A(−5;6), B(−4;−1), C(4;3). Tìm tọa độ trung điểm I của AC. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cho tam giác ABC có A(−3;6), B(9;−10), C(−5;4).

a) Tìm tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác BGCD là hình bình hành.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Chọn hệ tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\), trong đó O là trung điểm của cạnh BC, \(\overrightarrow i \) cùng hướng với \(\overrightarrow {OC}\), \(\overrightarrow j\) cùng hướng với \(\overrightarrow {OA}\).

a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC.

c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) trong đó O là tâm của lục giác đều, hai véc tơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow {OD}\) cùng hướng, \(\overrightarrow j\) và \(\overrightarrow {EC}\) cùng hướng . Tính tọa độ các đỉnh của lục giác biết độ dài của lục giác là 6.

Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai ?

a) Hai vec tơ \(\overrightarrow a  = \left( {26;9} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {9;26} \right)\) bằng nhau.

b) Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

c) Hai vec tơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau.

d) Vec tơ \(\overrightarrow a\) cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow i\) nếu \(\overrightarrow a\) có hoành độ bằng 0.

e) Vec tơ \(\overrightarrow a\) có hoành độ bằng 0 thì nó cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow j\).

Tìm tọa độ của các vectơ sau trong mặt phẳng tọa độ

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec a =  - \vec i;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b = 5\vec j;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c = 3\vec i - 4\vec j;}\\
\begin{array}{l}
\vec d = \frac{1}{2}\left( {\vec j - \vec i} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec e = 0,15\vec i + 1,3\vec j;\\
\vec f = \pi \vec i - \left( {\cos {{24}^0}} \right)\vec j
\end{array}
\end{array}\)

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {2;1} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( {3;4} \right),\,\,\,\overrightarrow c  = \left( {7;2} \right)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \).

b) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow x\) sao cho \(\overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

c) Tìm các số k,l để \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + l\overrightarrow b \)

Cho \(\overrightarrow u  = \frac{1}{2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j \).

Tìm các giá trị của k để hai vec tơ \(\overrightarrow u, \overrightarrow v\) cùng phương.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

a) Tọa độ của điểm A bằng tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow {OA} \), với O là gốc tọa độ.

b) Hoành độ của một điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trên trục hoành.

c) Điểm A nằm trên trục tung thì A có hoành độ bằng 0.

d) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ điểm P bằng trung bình cộng các hoành độ của hai điểm A và B

e) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi x_A+x_C = x_B+x_D và y_A+y_C = y_B+y_D.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(−3;4), B(1;1), C(9;−5).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD.

c) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng.

Cho điểm M(x;y). Tìm tọa độ của các điểm

a) M₁ đối xứng với M qua trục Ox.

b) M₂ đối xứng với M qua trục Oy.

c) M₃ đối xứng với M qua gốc tọa độ O.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(−4;1), B(2;4), C(2;−2).

a) Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD.

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành.