Bài 4: Hàm số mũ Hàm số lôgarit - Giải tích 12

8 trắc nghiệm 5 bài tập SGK

Nội dung bài học sẽ cung cấp đến các em khái niệm, tính chất, cách tính đạo hàm của hàm số mũhàm số lôgarit, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Tóm tắt lý thuyết

1. Hàm số mũ

a) Định nghĩa hàm số mũ

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

b) Tính chất hàm số mũ

  • Tập xác định: \(\mathbb{R}.\)
  • Tập giá trị: \((0;+\infty )\)
  • Với \(a>1\) hàm số \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
  • Với \(0<a<1\) hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
  • Đồ thị hàm số mũ nhận trục \(Ox\) làm tiệm cận ngang.

c) Đạo hàm của hàm số mũ

  • Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm với mọi \(x\) và: \(\left ( e^x \right )'=e^x\)
  • Hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và: \(\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}\)
  • Đối với hàm hợp:
    • ​\(({e^u})' = u'.{e^u}\)
    • ​\(({a^u})' = {a^u}.\ln a.u'\)

2. Hàm số Lôgarit

a) Định nghĩa hàm số Lôgarit

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a.\)

b) Tính chất hàm số Lôgarit

  • Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right).\)
  • Tập giá trị: \(\mathbb{R}.\)
  • Với \(a>1\): \(y=\log_ax\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
  • Với \(0<a<1\): \(y=\log_ax\) là hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
  • Với \(x_1>0,x_2>0\): \(\log_ax_1=\log_ax_2\Leftrightarrow x_1=x_2\)

c) Đạo hàm của hàm số logarit

  • \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

  • \(\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

  • \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\)

  • Đối với hàm hợp:
    • ​\(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}\)
    • ​\(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{{\ln u}}\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\)

b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}}\)

c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}}\)

d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)

Lời giải:

a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} \Rightarrow y' = \left( {2x - 2} \right){e^x} + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} = \left( {{x^2}} \right){e^x}\)

b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}} \Rightarrow y' = (2x - 3){.2^{{x^2} - 3x}}.\ln 2\)

c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} \Rightarrow y' = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}.\ln \frac{2}{5} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}.\ln \frac{1}{5}\)

d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)

\(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) - \left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\)

Ví dụ 2: 

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)

b) \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)

c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x\)

d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\)

Lời giải:

a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)

b) \(y = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x}.x - \ln x} \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\)

c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x \Rightarrow y' = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{{1 + \ln x}}{x} = \frac{{1 + 2\ln x}}{x}\)

d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\) \(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {3{x^2} + 1x + 1} \right)'}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}} = \frac{{6x + 2}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}}\)

Ví dụ 3:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = {\log _2}(25 - 4{x^2})\)

b) \(y = {\log _{2x + 1}}(3x + 1) - 2{\log _{3x + 1}}(2x + 1)\)

c) \(y = {\log _{\sqrt {3x + 2} }}(1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} )\)

Lời giải:

a) Điều kiện: \(25 - 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right).\)

b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 2x + 1 \ne 1\\ 0 < 3x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 3x + 2 \ne 1\\ 1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - \frac{2}{3}\\ x \ne - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - \frac{1}{3};0} \right\}\).

Ví dụ 4: 

Tìm m để hàm số \(y={\log _2}(2{x^2} + 3x + 2m - 1)\) xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Lời giải:

Điều kiện: \(2{x^2} + 3x + 2m - 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có: \(\Delta = {3^2} - 4.2.(2m - 1) = 17 - 16m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{17}}{{16}}.\)

Vậy với \(m<\frac{17}{16}\) hàm số xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).

-- Mod Toán Học 12 HỌC247