Bài tập 56 trang 16 SBT Toán 9 Tập 2

\(\dfrac{1}{X}+\dfrac{1}{Y}=\dfrac{1}{12}\)\(X-Y=7\)

cm bđt

\(a^4+\dfrac{1}{8}b^4+\dfrac{1}{27}c^4\ge6\left(\dfrac{a+b+c}{6}\right)^4\)

Cho a, b >1. Chứng minh: \(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge8\) .

P/S: Giải thích vì sao dấu "=" xảy ra khi a=b=2

Cho hàm số \(y=x^2\) có đồ thị (P) và đường thẳng (d) đi qua điểm \(M\left(1;2\right)\)có hệ số góc \(k\ne0\)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị \(k\ne0\), đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

b) Gọi \(x_A\) và \(x_B\) là hoành độ của hai điểm A và B. Chứng minh rằng \(x_A+x_B-x_A.x_B-2=0\)

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le3\left(a+b+c\right)\)

Cho a,b,c\(\in R^+\) thõa mãn \(a+b+c=1\). CMR :

\(\dfrac{a-bc}{a+bc}+\dfrac{b-ca}{b+ca}+\dfrac{c-ab}{c+ab}\le\dfrac{3}{2}\)

Cho a,b,c\(\in\left[0;2\right]\) và a + b + c = 3. CMR :

\(3\le a^2+b^2+c^2\le5\)

Giair hệ PT: \(\left\{{}\begin{matrix}y+xy^2=6x^2\left(1\right)\\1+x^2y^2=5x^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Cho x,y,z>0 thoã mãn: x+y+z=1. Chứng minh rằng:

(1-x)(1-y)(1-z) \(\ge\)8xyz

Giải hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-4xy\left(\dfrac{2}{x-y}-1\right)=4\left(4+xy\right)\\\sqrt{x-y}+3\sqrt{y^2-y+4}=2y^2-x+3\end{matrix}\right.\)

Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)

Cho x,y,z>0 thoã mãn: x³+y³+z³=1

Chứng minh rằng: \(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)

4.

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : .

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

Cho biểu thức: P=\(\dfrac{1}{3+2a+b+ab}\)+\(\dfrac{1}{3+2b+c+bc}\)+\(\dfrac{1}{3+2c+a+ca}\)

Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: với x, y, z > 0.

Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.

Câu 4. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:

a) ab và a/b là số vô tỉ.

b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

Câu 5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:

Câu 7. Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1

cho a,b>1 CM \(\dfrac{1}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}>1\)

Câu 1. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

b) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Câu 2. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) |2x – 3| = |1 – x|

b) x² – 4x ≤ 5

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

Câu 3. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a² + b² + c² + d² = a(b + c + d)

cho a,b là các số nguyên dương phân biệt sao cho ab(a+b) chia hết cho a²+ab+b². chứng minh rằng \(\left | a-b \right |>\sqrt[3]{ab}\)

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)² + (ad – bc)² = (a² + b²)(c² + d²)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x² + y².

Cho các số thực a,b,c. CMR :

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol \(\left(P\right):y=x^2\) và đường thẳng \(\left(d\right):y=2x+3\)

1) Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt.

2) Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ )

Chưng minh rằng nếu \(|a|\ge|b|\) thì \(|a+b|+|a-b|\ge|a+\sqrt{a^2-b^2}|+|a-\sqrt{a^2-b^2}|\)

Cho a,b,c >0 và \(a^2+b^2+c^2=3\).Chứng minh: (a+b)(a+c)(b+c)≤8.

Cho các số thực a,b,c khác 0 thỏa : a + b + c = abc và \(a^2=bc\)

CM : \(a^2\ge3\)

cho hệ số :\(\left\{{}\begin{matrix}x+ay=2\\ax-y=1\end{matrix}\right.\)

tìm các giá trị của a để hệ phương trình trên có nghiệm x>0 , y>0

Cho đường tròn tâm O, bán kính 4cm và một điểm A nằm ngoài đường tròn O sao cho OA=8cm.Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC của (O) (B,C là các tiếp điểm)

a/ Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

b/ Vẽ đường kính BD của (O). Chứng minh CD // OA

c/ Gọi M là điểm thuộc cung nhỏ BC của (O), qua M kẻ tiếp tuyến của (O) cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Tính chu vi tam giác AEF

Cho x, y là các số thỏa mãn x+y=2 chứng minh \(x^4+y^4>=2\)

Cho tứ giác ABCD. Vẽ hình bình hành BDCE. Chứng minh: \(S_{ABCD}=S_{ACE}\)

Cho 3 số a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{abc}\)

giải và biện luận hpt

mx+y=3

4x+my=-1

Cho các số dương x, y, z. Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}>2\)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)