YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng a-bc/a+bc + b-ca/b+ca + c-ab/c+ab

Cho a,b,c\(\in R^+\) thõa mãn \(a+b+c=1\). CMR :

\(\dfrac{a-bc}{a+bc}+\dfrac{b-ca}{b+ca}+\dfrac{c-ab}{c+ab}\le\dfrac{3}{2}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • phạm bích ngọc

    Lời giải:

    Ta có:

    \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow \frac{a-bc}{a(a+b+c)+bc}+\frac{b-ac}{b(a+b+c)+ca}+\frac{c-ab}{c(a+b+c)+ab}\leq \frac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow \frac{a-bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{b-ac}{(b+a)(b+c)}+\frac{c-ab}{(c+a)(c+b)}\leq \frac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow \frac{(a-bc)(b+c)+(b-ac)(a+c)+(c-ab)(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\)

    \(\Leftrightarrow (a-bc)(b+c)+(b-ac)(a+c)+(c-ab)(a+b)\leq \frac{3}{2}(a+b)(b+c)(c+a)\)

    \(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)-[ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)]\leq \frac{3}{2}(1-a)(1-b)(1-c)\)

    \(\Leftrightarrow 4(ab+bc+ac)-2[ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)]\leq 3(ab+bc+ac-abc)\)

    \(\Leftrightarrow ab+bc+ac+3abc\leq 2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\)

    \(\Leftrightarrow ab+bc+ac+9abc\leq 2[ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ac(a+b+c)]\)

    \(\Leftrightarrow ab+bc+ac+9abc\leq 2(a+b+c)(ab+bc+ac)\)

    \(\Leftrightarrow ab+bc+ac+9abc\leq 2(ab+bc+ac)\)

    \(\Leftrightarrow 9abc\leq ab+bc+ac\)

    \(\Leftrightarrow 9abc\leq (a+b+c)(ab+bc+ac)\)

    BĐT trên luôn đúng do theo BĐT AM-GM ta có:

    \((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)

    Vậy ta có đpcm

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)


      bởi phạm bích ngọc 14/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON